WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть ${\displaystyle I}$  — направленное множество ${\displaystyle \leqslant }$ (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ сопоставлена алгебраическая система ${\displaystyle X_{i}}$ из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре ${\displaystyle (i,\;j)}$ , такой что ${\displaystyle i,\;j\in I}$ , ${\displaystyle i\leqslant j}$ , сопоставлен гомоморфизм ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$ , причём ${\displaystyle f_{ii}}$  — тождественные отображения для любого ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ из ${\displaystyle I}$ . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество ${\displaystyle X}$ прямого произведения ${\displaystyle X_{i}}$ , состоящее из всех наборов ${\displaystyle (x_{i})}$ , "согласованных" с семейством отображений ${\displaystyle \{f_{ij}\}}$ в следующем смысле:

${\displaystyle \varprojlim X_{i}={\bigg \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\mid x_{i}=f_{ij}(x_{j})\;{\text{для всех}}\;i\leqslant j{\bigg \}}}$ .

Существуют канонические проекции ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$ , выбирающие ${\displaystyle i}$ -ю компоненту прямого произведения для каждого ${\displaystyle i\in I}$ . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$  — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда ${\displaystyle X}$ называется проективным пределом системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ , или ${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$ , если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$ , что ${\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$ ;
2. для любого семейства отображений ${\displaystyle \psi _{i}:Y\to X_{i}}$ , произвольного множества ${\displaystyle Y}$ , для которого выполнены равенства ${\displaystyle \psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$ , существует единственное отображение ${\displaystyle u:Y\to X}$ , что ${\displaystyle \psi _{i}=\pi _{i}\circ u}$ , для всех ${\displaystyle i\in I}$ .

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ .