WikiSort.ru - Не сортированное

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$ . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: ${\displaystyle A=A^{*}}$ и унитарные операторы: ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$ . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения

• Аддитивное разложение. ${\displaystyle N=X+iY}$ , где ${\displaystyle X,Y}$  — перестановочные самосопряжённые операторы,

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}(N+N^{*}),\quad Y={\frac {1}{2i}}(N-N^{*}).}$

• Мультипликативное (полярное) разложение. ${\displaystyle N=RU=UR}$ , где ${\displaystyle R={\sqrt {N^{*}N}}}$  — положительный самосопряжённый оператор, ${\displaystyle U}$  — унитарный оператор. Операторы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle U}$ перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$ .

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа ${\displaystyle z}$ через его действительную и мнимую части: ${\displaystyle z=x+iy}$ , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: ${\displaystyle z=re^{i\varphi }.}$ ^[1]

Свойства

• Если оператор ${\displaystyle N}$ нормален, то операторы ${\displaystyle N^{*}}$ , ${\displaystyle \alpha N+\beta I,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ , а также обратный оператор ${\displaystyle N^{-1}}$ (если он существует), тоже нормальны.^[2]
• Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle N}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ нормален тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|}$ для каждого ${\displaystyle x\in H}$ .
• ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,N={\mbox{Ker}}\,N^{*}={\mbox{Im}}\,N^{\perp }}$ . Здесь ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,N}$  — ядро, ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,N}$  — образ оператора ${\displaystyle N}$ .
• Если ${\displaystyle Nx=\alpha x}$ при некотором ${\displaystyle x\in H}$ и ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ , то ${\displaystyle N^{*}x={\bar {\alpha }}x}$ .
• Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны.^[3]
• Теорема о перестановочности. Пусть ${\displaystyle M,N,T}$  — линейные непрерывные операторы, причем операторы ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ нормальны. Если ${\displaystyle MT=TN}$ , то ${\displaystyle M^{*}T=TN^{*}}$ . В частности, если оператор ${\displaystyle T}$ перестановочен с нормальным оператором ${\displaystyle N}$ , то он перестановочен и с сопряжённым ${\displaystyle N^{*}}$ .^[4]
• ${\displaystyle \|N\|=\sup\{|(Nx,x)|\colon x\in H,\,\|x\|\leq 1\}}$ ^[5]
• Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.^[6]
• Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если ${\displaystyle M=TNT^{-1}}$ , где ${\displaystyle M,N}$  — нормальные операторы, а оператор ${\displaystyle T}$ обратим, то ${\displaystyle M=UNU^{-1}}$ , где ${\displaystyle U}$  — унитарный оператор.^[7]
• ${\displaystyle \|N^{m}\|=\|N\|^{m}}$ , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.^[2]

Спектральная теорема

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

${\displaystyle f(N)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(z)E(dxdy).}$ ^[9]

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

• Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
• Для нормального оператора ${\displaystyle N}$ каждый из операторов ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$ представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора ${\displaystyle N}$ .
• Если ${\displaystyle S}$  — инвариантное подпространство относительно оператора ${\displaystyle N}$ , то его ортогональное дополнение ${\displaystyle S^{\perp }}$ тоже является инвариантным подпространством для ${\displaystyle N}$ .
• Матрица ${\displaystyle N}$ является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть ${\displaystyle N=UDU^{-1},}$ где ${\displaystyle U}$  — унитарная матрица, ${\displaystyle D}$  — диагональная матрица.^[10]

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор ${\displaystyle N}$ (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ называется нормальным, если его область определения ${\displaystyle D(N)}$ плотна в ${\displaystyle H}$ , он замкнут и удовлетворяет условию ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$ . Для нормального оператора ${\displaystyle D(N^{*})=D(N)}$ , ${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|}$ для любого ${\displaystyle x\in D(N)}$ . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.^[11]

См. также

• Самосопряжённый оператор
• Унитарный оператор
• Спектральная теорема

Примечания

Литература

• Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.
• Рисс Ф., Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.