WikiSort.ru - Не сортированное

Эрмитовы матрицы

В эрмитовой матрице ${\displaystyle A}$ на конечномерном вещественном или комплексном пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle V}$ по определению обеспечено, что для всех векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ пространства ${\displaystyle V}$ выполняется равенство ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}$ . Эквивалентным образом условие эрмитовости может быть записано в виде ${\displaystyle A^{*}=A}$ , где ${\displaystyle A^{*}}$ является сопряжённо-транспонированной для ${\displaystyle A}$ матрицей. Если ${\displaystyle A}$ является вещественной матрицей, то последнее условие эквивалентно такому ${\displaystyle A^{T}=A}$ (то есть ${\displaystyle A}$ является симметричной матрицей). Для формулировки спектральной теоремы также существенно понятие собственного вектора: ненулевой вектор ${\displaystyle x}$ является собственным для линейного оператора ${\displaystyle A}$ , если ${\displaystyle Ax=\lambda x}$ для некоторого скаляра ${\displaystyle \lambda }$ , при этом ${\displaystyle \lambda }$ называется собственным значением, соответствующим собственному вектору ${\displaystyle x}$ .

Дадим набросок доказательства для случая комплексного пространства.

Согласно основной теореме алгебры оператор, заданный любой квадратной матрицей с комплексными коэффициентами, имеет по крайней мере один собственный вектор. Пусть теперь эрмитова матрица ${\displaystyle A}$ имеет собственный вектор ${\displaystyle e^{1}}$ . Рассмотрим подпространство ${\displaystyle K}$ , состоящее из всех векторов, ортогональных к ${\displaystyle e^{1}}$ .Поскольку ${\displaystyle A}$  — эрмитова матрица, подпространство ${\displaystyle K}$ является инвариантным подпространством оператора ${\displaystyle A}$ . Применяя указанные выше аргументы к подпространству ${\displaystyle K}$ , видим, что ${\displaystyle A}$ имеет собственный вектор ${\displaystyle e^{2}\in K}$ . Сделав конечное число таких шагов, мы завершим доказательство.

Спектральная теорема имеет место также и для симметричных матриц с вещественными коэффициентами. Однако в этом случае труднее доказать существование хоть одного собственного вектора.

Если выбрать собственные векторы оператора ${\displaystyle A}$ в качестве ортонормированного базиса, то в этом базисе матрица оператора ${\displaystyle A}$ будет диагональной. Это свойство можно выразить по-другому, сказав, что ${\displaystyle A}$ является линейной комбинацией попарно ортогональных проекций, называемых спектральным разложением ${\displaystyle A}$ . В самом деле, пусть

${\displaystyle V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}}$

будет подпространством, состоящим из собственных векторов, отвечающих собственному значению λ. Заметим, что это определение не зависит от конкретного выбора собственных векторов. Всё пространство ${\displaystyle V}$ является прямой суммой взаимно ортогональных подпространств ${\displaystyle V_{\lambda }}$ , где индекс пробегает все возможные собственные значения. Пусть ${\displaystyle P_{\lambda }}$ обозначает ортогональную проекцию на ${\displaystyle V_{\lambda }}$ и пусть ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{m}}$ обозначают все собственные значения ${\displaystyle A}$ . Тогда спектральное разложение ${\displaystyle A}$ можно записать в виде

${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\dots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.}$

Спектральное разложение является частным случаем разложения Шура, а также специальным случаем сингулярного разложения.

В бесконечномерном случае спектральное разложение линейного оператора ${\displaystyle A}$ задаётся интегралом

${\displaystyle A=\int _{\sigma }\lambda P(d\lambda ),}$

где σ обозначает спектр оператора ${\displaystyle A}$ , а ${\displaystyle P}$ обозначает оператор проектирования, а интегрирование ведётся по мере, принимающей значения в пространстве операторов проектирования.

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть ${\displaystyle A}$ является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. ${\displaystyle A}$ называют нормальным, если ${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$ . Можно доказать, что ${\displaystyle A}$ является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем ${\displaystyle A=UTU^{*}}$ , где ${\displaystyle U}$ является унитарным оператором, а ${\displaystyle T}$  — верхнетреугольным. Поскольку ${\displaystyle A}$ является нормальным, то ${\displaystyle TT^{*}=T^{*}T}$ . Следовательно, ${\displaystyle T}$ является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, ${\displaystyle A}$ является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица ${\displaystyle U}$ такая, что ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}$ , где ${\displaystyle \Lambda }$ является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями ${\displaystyle A}$ , а векторы-столбцы матрицы ${\displaystyle U}$ являются собственными векторами ${\displaystyle A}$ (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы ${\displaystyle \Lambda }$ не обязательно вещественны.