WikiSort.ru - Не сортированное

Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle (Ax,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение ${\displaystyle A\geq 0}$ ^[1]. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут ${\displaystyle A>0}$ , если оператор ${\displaystyle A}$  — положительный, и ${\displaystyle A\geq 0}$ , если ${\displaystyle A}$  — положительный или нулевой.^[2]

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси ${\displaystyle [0,\infty )}$ , причем это необходимое и достаточное условие^[1]. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором^[3][4].

Свойства

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор ${\displaystyle A\geq 0}$ и вещественное число ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ , то ${\displaystyle \alpha A\geq 0}$ .
• Если ${\displaystyle A\geq 0}$ и обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ существует, то ${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$ .
• ${\displaystyle A^{*}A\geq 0,\,AA^{*}\geq 0}$ для любого линейного оператора ${\displaystyle A}$ . В частности, ${\displaystyle A^{2}\geq 0}$ для любого самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$ . Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования^[2].
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор^[5].
• Для положительного оператора ${\displaystyle A}$ и любых элементов ${\displaystyle x,y}$ гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:

${\displaystyle |(Ax,y)|^{2}\leq (Ax,x)(Ay,y)}$ ^[6].

Отношение порядка

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: ${\displaystyle A\geq B}$ или ${\displaystyle B\leq A}$ , если оператор ${\displaystyle A-B}$  — положительный, иначе говоря, ${\displaystyle (Ax,x)\geq (Bx,x)}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle C\geq D}$ , то ${\displaystyle A+C\geq B+D}$ .
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle B\geq C}$ , то ${\displaystyle A\geq C}$ .
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle c>0}$ , то ${\displaystyle cA\geq cB}$ .
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору^[2][6].

Полуограниченный оператор

Симметричный оператор ${\displaystyle S}$ называется полуограниченным снизу, если существует действительное число ${\displaystyle c}$ такое, что

${\displaystyle (Sx,x)\geq c(x,x)}$

для любого ${\displaystyle x}$ из области определения оператора ${\displaystyle S}$ ; наибольшее из всех значений ${\displaystyle c}$ , для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора ${\displaystyle S}$ . Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань^[9].

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор ${\displaystyle P}$ посредством одной из следующих формул:

${\displaystyle S=P+cI,\quad S=-P+cI,}$

где ${\displaystyle I}$  — единичный оператор^[10].

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор ${\displaystyle S}$ (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$ , причем оператор ${\displaystyle A}$ будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и ${\displaystyle S}$ ^[11].

Случай конечномерного пространства

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве ${\displaystyle R}$ называется неотрицательным, если ${\displaystyle (Sx,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x\in R}$ . В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ называется неотрицательной, а матрица оператора ${\displaystyle S}$  — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ называется положительно определённым, если для любого вектора ${\displaystyle x\neq 0}$ из ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Sx,x)>0}$ . В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ и матрица оператора ${\displaystyle S}$ называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра^[12].

Пример

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

${\displaystyle Au(x)=-(p(x)u'(x))'+q(x)u(x),}$

где

${\displaystyle p(x)\geq 0,\quad q(x)\geq q_{0},\quad (0\leq x\leq 1),}$

если его рассматривать в пространстве ${\displaystyle L_{2}(0,1)}$ , отнеся к области определения функции ${\displaystyle u(x)}$ , дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

${\displaystyle u(0)=0,\quad u'(1)+hu(1)=0,}$

где ${\displaystyle h\geq 0}$  — некоторая постоянная; функции ${\displaystyle p(x),p'(x),q(x)}$ также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

${\displaystyle (Au,u)=hp(1)|u(1)|^{2}+\int \limits _{0}^{1}p(x)|u'(x)|^{2}dx+\int \limits _{0}^{1}q(x)|u(x)|^{2}dx\geq \int \limits _{0}^{1}q_{0}|u(x)|^{2}dx=q_{0}(u,u).}$ .

Если ${\displaystyle q_{0}\geq 0}$ , то оператор положительный^[11].

См. также

• Эрмитов оператор
• Квадратичная форма

Примечания

Литература

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 444 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1966. — 543 с.