WikiSort.ru - Не сортированное

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения ${\displaystyle f(x)=x}$ .

К примеру, отображение ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3}$ имеет неподвижные точки ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=3}$ , поскольку ${\displaystyle f(1)=1}$ и ${\displaystyle f(3)=3}$ .

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение ${\displaystyle f(x)=x+1}$ вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

${\displaystyle f(f(\dots f(x)\dots ))=x}$ ,

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Притягивающие неподвижные точки

Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут стремиться к x:

${\displaystyle f(f(\underbrace {\dots f(y)\dots } _{n\,{\text{times}}}))\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty }$ .

(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: ${\displaystyle |f'(x)|<1}$ .

См. также

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
• Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
• Agarwal R. P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press, 2001. - ISBN 0-521-80250-4.
• Borisovich Yu. G., Gel'man B. D., Myshkis A. D., Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, Issue 6, pp 719-791.
• Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.