WikiSort.ru - Не сортированное

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события ${\displaystyle A}$ определённое количество раз при нескольких независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Формулировка

Теорема. Если вероятность ${\displaystyle p}$ наступления события ${\displaystyle A}$ в каждом испытании постоянна, то вероятность ${\displaystyle P_{n}^{k}}$ того, что событие ${\displaystyle A}$ наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях, равна ${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$ , где ${\displaystyle q=1-p}$ .^[1]

Доказательство

Пусть проводится ${\displaystyle n}$ независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие ${\displaystyle A}$ наступает с вероятностью ${\displaystyle P\left(A\right)=p}$ и, следовательно, не наступает с вероятностью ${\displaystyle P\left({\bar {A}}\right)=1-p=q}$ . Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате ${\displaystyle n}$ независимых испытаний, событие ${\displaystyle A}$ наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие ${\displaystyle A}$ наступает ${\displaystyle k}$ раз в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ .

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие ${\displaystyle A}$ либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: ${\displaystyle p^{k}q^{n-k}}$ .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях событие ${\displaystyle A}$ наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны ${\displaystyle p^{k}q^{n-k}}$ , количество "удачных" комбинаций равно ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ , поэтому окончательно получаем:

${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ .

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1}$ .

См. также

• Факториал
• Биномиальный коэффициент
• Локальная теорема Муавра — Лапласа

Примечания

Ссылки

• Повторение испытаний. Формула Бернулли

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.