WikiSort.ru - Не сортированное

Пал Эрдёш
венг. Erdős Pál
Дата рождения	26 марта 1913(1913-03-26)[1][2][…]
Место рождения	Будапешт, Австро-Венгерская империя
Дата смерти	20 сентября 1996(1996-09-20)[1][2][3] (83 года)
Место смерти	Варшава, Польша[4][1][…]
Страна	Венгрия[5][6]  Австро-Венгрия
Научная сфера	математик
Место работы	Принстонский университет Манчестерский университет Университет Пердью Университет Нотр-Дам
Альма-матер	Будапештский университет
Учёная степень	докторская степень[d]
Научный руководитель	Липот Фейер
Известные ученики	Джордж Перди[d], Джозеф Крускал[d] и Александр Сойфер[d]
Награды и премии	Премия Вольфа по математике (1983/84)
Пал Эрдёш на Викискладе

Пал Э́рдёш (венг. Erdős Pál; встречаются варианты написания Пауль Эрдёш, Paul Erdős, Paul Erdos; 26 марта 1913, Будапешт — 20 сентября 1996, Варшава) — один из самых знаменитых математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа, основатель премии Эрдёша.

Количество написанных им научных статей, так же как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков (более 1500)^[7].

Биография

Родился в Будапеште (тогда Австро-Венгерская империя) и был старшим ребёнком в образованной еврейской семье. Его родители получили математическое образование и работали учителями. Мать некоторое время была директором школы (1919—1920), отец был призван в действующую армию в годы Первой мировой войны, попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в качестве военнопленного в Сибири^[8].

Ещё в раннем детстве проявил выдающиеся математические способности, в четырёхлетнем возрасте перемножая в уме четырёхзначные числа. В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады. В 1930 году поступил в Будапештский университет. В возрасте 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана, гораздо более простое, чем ранее известные. Спустя 4 года после поступления в университет не только досрочно окончил обучение, но и защитил диссертацию. В Венгрии, как и в соседней Германии, набирал силу антисемитизм, поэтому принял приглашение переехать в Великобританию и занять должность в Манчестерском университете^[9].

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований, затем перешёл в Пенсильванский университет. Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности; в результате после Международного конгресса математиков в Амстердаме (1954 год) ему запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион, где провёл более десяти лет^[10].

В дальнейшем проводил жизнь в постоянных путешествиях по миру. Неутомимо работал до последнего дня. По отзывам друзей, учёный злоупотреблял крепким кофе и амфетаминами. Умер от сердечного приступа во время конференции в Польше, в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция.

Член Венгерской академии наук и Нидерландской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук (1974), иностранный член НАН США (1980) и Лондонского королевского общества (1989). Подписал «Предупреждение учёных человечеству» (1992).

Особенности характера

Начиная с конца 1930-х годов и до самой смерти стиль жизни Эрдёша можно охарактеризовать как «странствующий математик»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи.

До конца жизни говорил по-английски с сильным венгерским акцентом до такой степени, что в любой части света венгры безошибочно определяли соотечественника, даже издалека услышав его английскую речь^[11].

На вопрос журналиста, не слишком ли он пессимистичен, Эрдёш ответил, что в нашей судьбе пессимистично только одно: «Человек живёт недолго и надолго умирает»^[12].

Вклад

Эрдёш оставил огромное математическое наследие. Здесь указаны лишь некоторые его результаты.

Теория чисел

• Доказал, что существует такое число ${\displaystyle c<1}$ , что для бесконечно многих простых чисел ${\displaystyle p}$ выполняется неравенство ${\displaystyle p'-p<c\log p}$ , где ${\displaystyle p'}$ — следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы ${\displaystyle c>0}$ существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$ , таких что

${\displaystyle p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}}$ .

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами^[13].

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого ${\displaystyle k}$ выполнено ${\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}}$ .

Пусть зафиксировано некоторое произвольное ${\displaystyle N}$ . Разобьём все числа меньшие ${\displaystyle N}$ на два класса - те, которые имеют простой делитель ${\displaystyle p\geq k}$ и те, у которых все простые делители меньше ${\displaystyle k}$ .

Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной ${\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}}$ .

Каждое число из второго класса представимо в виде ${\displaystyle a{b^{2}}}$ , где ${\displaystyle a}$ свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших ${\displaystyle k}$ . Кроме того, очевидно, ${\displaystyle b\leq {\sqrt {N}}}$ . Значит, таких чисел существует не более чем ${\displaystyle {2^{k}}{\sqrt {N}}}$ .

Рассмотрев это рассуждение для числа ${\displaystyle N>2^{2k+2}}$ можно получить, что общее количество чисел меньших ${\displaystyle N}$ будет ${\displaystyle {\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N}$ , что приводит к противоречию, так как каждое число меньше ${\displaystyle N}$ , очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

• Доказал, что для ${\displaystyle 4\leq k<n}$ и ${\displaystyle l\geq 2}$ уравнение ${\displaystyle C_{n}^{k}=m^{l}}$ не имеет решений в целых числах.
• В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений^[14], а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей выпуклых множеств^[15].

Число Эрдёша

Написал за свою жизнь около 1525 статей^[16], что сопоставимо только с числом статей у Эйлера. Многие из этих статей были написаны с соавторами, общее количество которых было около пяти сотен. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, поэтому наличие столь огромного числа соавторов Эрдёша породило такое шуточное понятие, как число Эрдёша, которое определяется следующим образом:

• у самого Эрдёша это число равно нулю;
• у соавторов Эрдёша это число равно единице;
• соавторы людей с числом Эрдёша, равным n, имеют число Эрдёша n+1.

Другими словами, число Эрдёша — это длина кратчайшего пути от человека до самого Эрдёша по совместным работам. По некоторым оценкам, 90 % математиков обладают числом Эрдёша не более 8, что перекликается с различными теориями «тесного мира». Существует неофициальный проект по составлению базы данных людей с конечным числом Эрдёша.

Награды

• 1945 — Стипендия Гуггенхайма^[17]
• 1946 — Стипендия Гуггенхайма
• 1951 — Премия Коула по теории чисел
• 1957 — Премия имени Кошута
• 1983 — Государственная премия Венгрии^[hu]
• 1983/84 — Премия Вольфа по математике
• 1991 — Золотая медаль Венгерской академии наук^[hu]

См. также

• Список математических утверждений и объектов, названных в честь Эрдёша

Примечания

Литература

• Руэ, Хуанхо. Вечный странник // Искусство подсчёта. Комбинаторика и перечисление (глава 3). — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 34). — ISBN 978-5-9774-0729-8.
• Мартин Айгнер, Гюнтер Циглер. Доказательства из книги. — М.: Мир, 2006. — 255 с. — ISBN 5-03-003690-3.

Ссылки

• Волков М. В. Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычайная математика // МИФ. — 1998—1999. — № 2.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Эрдёш, Пал (англ.) — биография в архиве MacTutor.
•  N — это число — документальный фильм об Эрдёше (1993), режиссёр — Джордж Пол Ксиксери