WikiSort.ru - Не сортированное

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle a,b\geq 0}$ и ${\displaystyle p,q>\!\ 1}$  — сопряженные показатели (то есть такие числа, что ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ). Тогда

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$ .

Доказательство

Для ${\displaystyle a=0}$ или ${\displaystyle b=0}$ неравенство очевидно. Для ${\displaystyle a>0}$ , ${\displaystyle b>0}$ неравенство следует из выпуклости вверх (это свойство называется также вогнутостью) логарифмической функции: для любых ${\displaystyle x_{1}}$ , ${\displaystyle x_{2}>0}$

${\displaystyle \ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geq 0,\alpha +\beta =1}$ .

Положив в этом неравенстве ${\displaystyle \alpha =p^{-1},~\beta =q^{-1},~x_{1}=a,~x_{2}=b,}$ получим, что

${\displaystyle \ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geq {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q}}=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)}$ ,

которое равносильно неравенству Юнга.

Замечание

Равенство достигается в том и только том случае, когда ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$ .

См. также

• Неравенство Гёльдера.
• Преобразование Лежандра.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.