WikiSort.ru - Не сортированное

Момент силы
${\displaystyle {\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]}$
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению вектора силы и радиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр (Н·м). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров от оси вращения. Более точно момент силы частицы определяется как векторное произведение:

${\displaystyle {\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right],}$

где ${\displaystyle {\vec {F}}}$  — сила, действующая на частицу, а ${\displaystyle {\vec {r}}}$  — радиус-вектор частицы (в предположении, что ось вращения проходит через начало координат).

Предыстория

Для того чтобы понять, откуда появилось обозначение момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на рычаг ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок ${\displaystyle dl}$ , которому соответствует бесконечно малый угол ${\displaystyle d\varphi }$ . Обозначим через ${\displaystyle {\vec {d}}l}$ вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка ${\displaystyle dl}$ и равен ему по модулю. Угол между вектором силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ и вектором ${\displaystyle {\vec {d}}l}$ равен ${\displaystyle \beta }$ , а угол между векторами ${\displaystyle {\vec {r}}}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}}$  — ${\displaystyle \alpha }$ .

Следовательно, бесконечно малая работа ${\displaystyle dA}$ , совершаемая силой ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на бесконечно малом участке ${\displaystyle dl}$ , равна скалярному произведению вектора ${\displaystyle {\vec {d}}l}$ и вектора силы, то есть ${\displaystyle dA={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}l}$ .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора ${\displaystyle {\vec {d}}l}$ через радиус-вектор ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , а проекцию вектора силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на вектор ${\displaystyle {\vec {d}}l}$  — через угол ${\displaystyle \alpha }$ .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага ${\displaystyle dl}$ можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: ${\displaystyle dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi }$ , где в случае малого угла справедливо ${\displaystyle \mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi }$ и, следовательно, ${\displaystyle \left|{\vec {dl}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi }$ .

Для проекции вектора силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на вектор ${\displaystyle {\vec {d}}l}$ видно, что угол ${\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$ , а так как ${\displaystyle \cos {\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha }$ , получаем, что ${\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha }$ .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: ${\displaystyle dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha }$ , или ${\displaystyle dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin(\alpha )d\varphi }$ .

Теперь видно, что произведение ${\displaystyle \left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha }$ есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов ${\displaystyle {\vec {r}}}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , то есть ${\displaystyle \left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|}$ , которое и было принято обозначить за момент силы ${\displaystyle M}$ , или модуль вектора момента силы ${\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|}$ .

Теперь полная работа записывается просто: ${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi }$ , или ${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi }$ .

Единицы

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему. Энергия и механическая работа также имеют размерность «сила, умноженная на расстояние» и измеряются в системе СИ в джоулях. Следует заметить, что энергия — это скалярная величина, тогда как момент силы — величина (псевдо)векторная. Совпадение размерностей этих величин не случайность: момент силы 1 Н·м, приложенный через целый оборот, совершает механическую работу и сообщает энергию ${\displaystyle 2\pi }$ джоулей. Математически:

${\displaystyle E=M\theta ,}$

где ${\displaystyle E}$  — энергия, ${\displaystyle M}$  — вращающий момент, ${\displaystyle \theta }$  — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

${\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|=\left|{\vec {M}}_{1}\right|\left|{\vec {F}}\right|,}$

где: ${\displaystyle \left|{\vec {M}}_{1}\right|}$  — момент рычага, ${\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|}$  — величина действующей силы.

Недостаток такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , момент рычага будет равен расстоянию от центра до точки приложения силы и момент силы будет максимален:

${\displaystyle \left|{\vec {T}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|.}$

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Так же и момент силы, если совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

${\displaystyle P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}.}$

В системе СИ мощность ${\displaystyle P}$ измеряется в ваттах, момент силы — в ньютон-метрах, а угловая скорость — в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

${\displaystyle A=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|{\vec {M}}\right|\mathrm {d} \theta .}$

В случае постоянного момента получаем:

${\displaystyle A=\left|{\vec {M}}\right|\theta .}$

В системе СИ работа ${\displaystyle A}$ измеряется в джоулях, момент силы — в ньютон·метр, а угол — в радианах.

Обычно известна угловая скорость ${\displaystyle \omega }$ в радианах в секунду и время действия момента ${\displaystyle t}$ .

Тогда совершённая моментом силы работа рассчитывается как:

${\displaystyle A=\left|{\vec {M}}\right|\omega t.}$

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка ${\displaystyle O_{F}}$ , к которой приложена сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$ , то момент силы относительно точки ${\displaystyle O}$ равен векторному произведению радиус-вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , соединяющего точки ${\displaystyle O}$ и ${\displaystyle O_{F}}$ , на вектор силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ :

${\displaystyle {\vec {M_{O}}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right].}$

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен алгебраическому значению проекции момента этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси относительно точки пересечения оси с плоскостью, то есть

${\displaystyle M_{z}(F)=M_{o}(F')=F'h'.}$

Измерение момента силы

Измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки.

См. также

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 30 ноября 2014 года.