WikiSort.ru - Не сортированное

Действие слева

Говорят, что группа ${\displaystyle G}$ действует слева на множестве ${\displaystyle M}$ , если задан гомоморфизм ${\displaystyle \Phi \colon G\to S(M)}$ из группы ${\displaystyle G}$ в симметрическую группу ${\displaystyle S(M)}$ множества ${\displaystyle M}$ . Для краткости ${\displaystyle (\Phi (g))(m)}$ часто записывают как ${\displaystyle gm}$ , ${\displaystyle g\cdot m}$ или ${\displaystyle g.m}$ . Элементы группы ${\displaystyle G}$ называются в этом случае преобразованиями, а сама группа ${\displaystyle G}$ — группой преобразований множества ${\displaystyle M}$ .

Другими словами, группа ${\displaystyle G}$ действует слева на множестве ${\displaystyle M}$ , если задано отображение ${\displaystyle G\times M\to M}$ . обозначаемое ${\displaystyle (g,m)=gm}$ , такое что

1. ${\displaystyle (gh)m=g(hm)}$ для всех ${\displaystyle g,\;h\in G}$ , ${\displaystyle m\in M}$ и
2. ${\displaystyle em=m}$ , где ${\displaystyle e}$ — нейтральный элемент группы ${\displaystyle G}$ . Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу ${\displaystyle M}$ его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle M}$ задаётся гомоморфизмом ${\displaystyle \rho :G^{op}\to S(M)}$ , где ${\displaystyle G^{op}}$ — инверсная группа группы ${\displaystyle G}$ . При этом часто используют сокращенное обозначение: ${\displaystyle \rho (g)(m)=:xg}$ . При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

1. ${\displaystyle m(gh)=(mg)h,}$
2. ${\displaystyle me=m.}$

Комментарии

• Любое правое действие группы ${\displaystyle G}$ — это левое действие ${\displaystyle G^{op}}$ . Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
• Если множество ${\displaystyle M}$ снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение ${\displaystyle m\mapsto gm}$ сохраняет эту структуру.
  • Например, если ${\displaystyle M}$ — топологическое пространство, то ${\displaystyle m\mapsto gm}$ предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется непрерывным действием.

Стабилизаторы

Подмножество

${\displaystyle G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G}$

является подгруппой группы ${\displaystyle G}$ и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента ${\displaystyle m\in M}$ .

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если ${\displaystyle n\,\sim _{_{G}}\,m}$ , то найдется такой элемент ${\displaystyle g\in G}$ , что

${\displaystyle G_{m}=gG_{n}g^{-1}.}$

Количество элементов в орбите

${\displaystyle |Gm|=[G:G_{m}]}$ , ${\displaystyle G_{m}}$ — стабилизатор элемента ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle [G:G_{m}]}$ — индекс подгруппы ${\displaystyle G_{m}\subset G}$ , в случае конечных групп равен ${\displaystyle {\frac {|G|}{|G_{m}|}}}$ .

Если ${\displaystyle M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}}$ , то

${\displaystyle |M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]}$ — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. ${\displaystyle \forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;}$
2. ${\displaystyle \sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;}$
3. лемма Бёрнсайда.

Действия на себе