WikiSort.ru - Не сортированное

Гомологическое

Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. Тогда степень непрерывного отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ определяется как целое число ${\displaystyle \deg(f)}$ такое, что

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y].}$

где ${\displaystyle f_{*}}$ обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и ${\displaystyle [X]}$ обозначает фундаментальный класс многообразия ${\displaystyle X}$ .

Через подсчёт ориентаций

Рассмотрим гладкое отображение n-мерных ориентированных гладких многообразий ${\displaystyle \varphi :M_{1}^{n}\to M_{2}^{n}}$ . Точка из ${\displaystyle M_{2}^{n}}$ называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение ${\displaystyle \varphi }$ не вырождено (т. е. невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Припишем каждому прообразу регулярной точки число +1, если отображение ${\displaystyle \varphi }$ в этой точке сохраняет ориентацию и −1 в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения.

При этом степень отображения не зависит от выбора регулярной точки, и следовательно, данное определение корректно.