WikiSort.ru - Не сортированное

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки ${\displaystyle z_{0}}$ из области, где функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ ,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ , в котором функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}}$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz}$ .

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов ${\displaystyle c_{n}}$ функций, голоморфных в круге ${\displaystyle {|z-z_{0}|<r}}$ :

${\displaystyle c_{n}\leq r^{-n}M(r)}$ ,

где ${\displaystyle M(r)}$ — максимум модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ на окружности ${\displaystyle {|z-z_{0}|=r}}$ , а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

${\displaystyle c_{n}={{f^{(n)}(z_{0})} \over n!}}$

получается интегральное представление производных функции ${\displaystyle f(z)}$ :

${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz.}$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области ${\displaystyle D}$ , если это семейство равномерно ограничено в ${\displaystyle D}$ . В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области ${\displaystyle D}$ , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в ${\displaystyle D}$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ вида ${\displaystyle \{r<|z-z_{0}|<R\}}$ , то в ней она представима суммой ряда Лорана:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ ,

причём коэффициенты ${\displaystyle c_{n}}$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz}$ ,

а сам ряд Лорана сходится в ${\displaystyle D}$ к функции ${\displaystyle f(z)}$ равномерно на каждом компакте из ${\displaystyle D}$ .

Формула для коэффициента ${\displaystyle c_{-1}}$ часто применяется для вычисления интегралов от функции ${\displaystyle f(z)}$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в круге ${\displaystyle \{|z-z_{0}|<R\}}$ , тогда для каждого ${\displaystyle r\,(0<r<R)}$

${\displaystyle f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\,d\varphi }$

а также если ${\displaystyle B_{r}}$ — круг радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в ${\displaystyle z_{0}}$ , тогда

${\displaystyle f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy}$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ и внутри ${\displaystyle D}$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ и внутри ${\displaystyle D}$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в круге ${\displaystyle {|z|<1}}$ , ${\displaystyle f(0)=0}$ и для всех точек ${\displaystyle z}$ из этого круга ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ , тогда всюду в этом круге ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ ,
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке ${\displaystyle z_{0}}$ , совпадают в некоторой окрестности этой точки,
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции ${\displaystyle f(z)}$ , голоморфной в области ${\displaystyle D}$ имеют предельную точку внутри ${\displaystyle D}$ , тогда функция ${\displaystyle f(z)}$ равна нулю всюду в ${\displaystyle D}$ .