WikiSort.ru - Не сортированное

В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется целым над подкольцом A, если существуют коэффициенты ${\displaystyle a_{j}\in A}$ , такие что

${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.}$

Таким образом, целые элементы B — это в точности корни приведенных многочленов над A. Если каждый элемент B является целым над A, кольцо B называется целым расширением A (или просто «кольцом, целым над A»).

Если A и B — поля, терминам «цел над» и «целое расширение» соответствуют термины «алгебраичен над» и «алгебраическое расширение». Частный случай, особенно важный в теории чисел — комплексные числа, являющиеся целыми над Z, они называются целыми алгебраическими числами.

Множество всех элементов B, целых над A, образует кольцо; оно называется целым замыканием A в B. Целое замыкание рациональных чисел в некотором конечном расширении k поля Q называется кольцом целых поля k, этот объект является фундаментальным для алгебраической теории чисел.

В дальнейшем в этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Примеры

• Целые числа — единственные элементы Q, являющиеся целыми над Z. До некоторой степени, это проясняет происхождение термина «целый».
• Гауссовы целые числа, как элементы поля комплексных чисел, являются целыми над Z.
• Пусть ζ — корень из единицы. Целое замыкание Z в круговом поле Q(ζ) — это Z[ζ].
• Если ${\displaystyle {\overline {k}}}$  — алгебраическое замыкание поля k, то ${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ цело над ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$
• Пусть конечная группа G действует на кольце A гомоморфизмами колец. Тогда A является целым над множеством элементов, являющихся неподвижными точками действия группы.

Эквивалентные определения

Пусть b — элемент кольца B, A — подкольцо B. Следующие утверждения эквивалентны:

• b является целым над A;
• Подкольцо A[b] кольца B является конечнопорожденным A-модулем;
• Существует подкольцо C кольца B, содержащее A и b, и являющееся конечнопорожденным A-модулем;
• Существует конечнопорожденный A-модуль M кольца B, такой что bM ⊂ M и из b’M = 0 следует, что b' = 0.

Из третьего свойства легко вывести, что множество всех элементов, целых над A, является подкольцом B (замкнуто относительно сложения и умножения), оно называется целым замыканием A в B. Если целое замыкание совпадает с самим кольцом A, A называется целозамкнутым в B.

«Целость» является транзитивным отношением: если кольцо C цело над B и B цело над A, то C цело над A.

Также из третьего свойства следует, что если B цело над A, то B является объединением (или, эквивалентно, прямым пределом) подколец, являющихся конечнопорожденными A-модулями.

Целозамкнутые кольца

Целозамкнутое кольцо — это целостное кольцо, целозамкнутое^[⇨] в своём поле частных.

Пусть A — целозамкнутое кольцо с полем частных K и L — конечное расширение K. Тогда элемент L цел над A тогда и только тогда, когда коэффициенты его минимального многочлена принадлежат A: это более сильное условие, чем просто целость, для которой достаточно существование произвольного многочлена с таким свойством. Любое факториальное кольцо является целозамкнутым.

Пусть A — нётерово целостное кольцо. Тогда A целозамкнуто в том и только в том случае, когда (1) A совпадает с пересечением всех локализаций A по простому идеалу и (2) локализация A по простому идеалу высоты 1 (то есть не содержащему других ненулевых простых идеалов) — дедекиндово кольцо. Также нётерово кольцо целозамкнуто тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля.

Примечания

• Bourbaki, Commutative algebra.
• Kaplansky, Irving. Commutative Rings. — University of Chicago Press, 1974. — ISBN 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.