WikiSort.ru - Не сортированное

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение ${\displaystyle E\supset K}$ и элемент ${\displaystyle \alpha \in E}$ , алгебраический над ${\displaystyle K}$ , то минимальное подполе ${\displaystyle E}$ , содержащее ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \alpha }$ , изоморфно факторкольцу ${\displaystyle K[x]/(f(x))}$ , где ${\displaystyle K[x]}$  — кольцо многочленов с коэффициентами в ${\displaystyle K}$ , а ${\displaystyle (f(x))}$  — главный идеал, порождённый минимальным многочленом ${\displaystyle \alpha }$ . Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Определение

Пусть ${\displaystyle E\supset K}$  — расширение поля, ${\displaystyle \alpha \in E}$  — элемент, алгебраический над ${\displaystyle K}$ . Рассмотрим множество многочленов ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ , таких что ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ . Это множество образует идеал в кольце многочленов ${\displaystyle K[x]}$ . Действительно, если ${\displaystyle f(\alpha )=0,g(\alpha )=0}$ , то ${\displaystyle (f+g)(\alpha )=0}$ , и для любого многочлена ${\displaystyle h(x)\in K[x]}$ ${\displaystyle (f\cdot h)(\alpha )=0}$ . Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент ${\displaystyle \alpha }$ алгебраичен; поскольку ${\displaystyle K[x]}$  — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом ${\displaystyle f(x)}$ . Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент ${\displaystyle f(x)}$ был равен единице, то есть чтобы ${\displaystyle f(x)}$ был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу ${\displaystyle \alpha }$ из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом ${\displaystyle \alpha }$ . Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в ${\displaystyle K[x]}$ .

Примеры

• Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt {2}}}$ . Тогда минимальный многочлен ${\displaystyle \alpha }$  — это ${\displaystyle x^{2}-2}$ . Если же мы возьмем ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ , то минимальный многочлен равен ${\displaystyle x-{\sqrt {2}}}$ .
• ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ . Минимальный многочлен ${\displaystyle \alpha }$  — это ${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1}$ .

Сопряжённые элементы

Сопряжённые элементы алгебраического элемента ${\displaystyle \alpha }$ над полем ${\displaystyle K}$  — это все (остальные) корни минимального многочлена ${\displaystyle \alpha }$ .

Примечания

• Minimal polynomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.
• Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5