Примеры
- Простейшим примером нётерова кольца является поле, поскольку в нём всего два идеала —
и само поле.
- Ещё один простой пример нётерова кольца — кольцо главных идеалов. Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
- Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 2).
Связанные определения
- Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.
Свойства
- Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов
существует максимальный элемент.
- Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
- Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца
кольцо многочленов
— нётерово.
- В частности,
тоже нётерово.
- В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, согласно которой любой идеал
допускает примарное разложение.
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М.: Мир, 1972.
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .