WikiSort.ru - Не сортированное

Постоя́нная Катала́на (англ. Catalan's constant) — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }$

Её численное значение приблизительно равно^[1]:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

${\displaystyle G=\beta (2)\;.}$

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

${\displaystyle G=\mathrm {Cl} _{2}(\pi /2)\;=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}(e^{\mathrm {i} \pi /2})\right)=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}({\mathrm {i} })\right)\;.}$

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$

так что

${\displaystyle G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.}$

Симон Плуфф^[en] нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ${\displaystyle \psi _{1}}$ , ${\displaystyle \pi ^{2}}$ и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

${\displaystyle G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\,(2-{\sqrt {2}})}}\right).}$

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\;,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\;,}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\;,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx\;,}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx\;.}$

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x),

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\;.}$

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

и

${\displaystyle G=}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)}$
	${\displaystyle -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы^[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы^[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой^[4][5].

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[6].

См. также

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

Примечания

Ссылки

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
• Victor Adamchik (2002). “A certain series associated with Catalan's constant”. Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA). 21 (3): 1—10. MR: 1929434.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi², (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
• David M. Bradley (1999). “A class of series acceleration formulae for Catalan's constant”. The Ramanujan Journal. 3 (2): 159—173. DOI:10.1023/A:1006945407723. MR: 1703281.
• David M. Bradley (2007), "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant", arΧiv:0706.0356