Бета-функция Дирихле действительного аргумента x
Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function ) в математике , иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function ) — специальная функция , тесно связанная с дзета-функцией Римана . Она является частным случаем L-функции Дирихле . Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan ).
Бета-функция Дирихле определяется как[1]
β
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
s
,
{\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,}
или, эквивалентным образом, через интегральное представление
β
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
−
x
1
+
e
−
2
x
d
x
,
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx\;,}
где Γ(s ) — гамма-функция Эйлера . В обоих случаях предполагается, что Re(s ) > 0.
Связь с другими функциями
Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s :
β
(
s
)
=
4
−
s
(
ζ
(
s
,
1
4
)
−
ζ
(
s
,
3
4
)
)
.
{\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right)\;.}
Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха [en] (англ. Lerch transcendent ),
β
(
s
)
=
2
−
s
Φ
(
−
1
,
s
,
1
2
)
.
{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.}
Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s [2] .
Функциональное соотношение
Соотношение между β(s ) и β(1-s ) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s )<0),
β
(
s
)
=
(
π
2
)
s
−
1
Γ
(
1
−
s
)
cos
(
1
2
π
s
)
β
(
1
−
s
)
,
{\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,}
где Γ(s ) — гамма-функция Эйлера .
Частные значения
Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя
β
(
0
)
=
1
2
,
{\displaystyle \beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2}},}
β
(
1
)
=
1
4
π
,
{\displaystyle \beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,}
β
(
2
)
=
G
,
{\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}
β
(
3
)
=
1
32
π
3
,
{\displaystyle \beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},}
β
(
4
)
=
1
768
(
ψ
3
(
1
4
)
−
8
π
4
)
,
{\displaystyle \beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),}
β
(
5
)
=
5
1536
π
5
,
{\displaystyle \beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},}
β
(
7
)
=
61
184320
π
7
,
{\displaystyle \beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},}
β
(
9
)
=
1385
41287680
π
9
,
{\displaystyle \beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},}
где G — постоянная Каталана , а
ψ
3
(
1
4
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4}})}}}
— частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).
В общем случае для любого положительного целого k
β
(
2
k
+
1
)
=
(
−
1
)
k
E
2
k
π
2
k
+
1
4
k
+
1
(
2
k
)
!
,
{\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}
где E 2k — числа Эйлера . Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k ) мы имеем
β
(
−
2
k
)
=
1
2
E
2
k
,
{\displaystyle \beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{2k}\;,}
β
(
−
2
k
−
1
)
=
0
,
{\displaystyle \beta (-2k-1)=0\;,}
то есть β(s ) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2] .
Приблизительные значения
s приблизительное значение β(s ) OEIS
1 0.7853981633974483096156608 A003881
2 0.9159655941772190150546035 A006752
3 0.9689461462593693804836348 A153071
4 0.9889445517411053361084226 A175572
5 0.9961578280770880640063194 A175571
6 0.9986852222184381354416008 A175570
7 0.9995545078905399094963465
8 0.9998499902468296563380671
9 0.9999496841872200898213589
10 0.9999831640261968774055407
Производная бета-функции Дирихле
Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s ) может быть вычислена аналитически[2] ,
β
′
(
−
1
)
=
2
G
π
,
{\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}\;,}
β
′
(
0
)
=
ln
(
Γ
2
(
1
4
)
2
π
2
)
,
{\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4}})}{2\pi {\sqrt {2}}}}\right)\;,}
β
′
(
1
)
=
π
4
(
γ
+
2
ln
2
+
3
ln
π
−
4
ln
Γ
(
1
4
)
)
,
{\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)\;,}
(см. также OEIS A113847 и A078127 ).
Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2]
β
′
(
n
)
=
−
∑
k
=
1
∞
ln
(
(
4
k
+
1
)
1
/
(
4
k
+
1
)
n
(
4
k
−
1
)
1
/
(
4
k
−
1
)
n
)
.
{\displaystyle \beta ^{\prime }(n)=-\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}\right)\;.}
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии .
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .