WikiSort.ru - Не сортированное

Необходимо перенести в эту статью содержимое статьи Аналитическая функция и поставить оттуда перенаправление. Вы можете помочь проекту, объединив статьи (см. инструкцию по объединению). В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{К объединению}} и добавьте соответствующую запись на странице ВП:КОБ.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В отличие от вещественного случая, это условие означает, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора.

Голоморфные функции также называют иногда аналитическими, хотя второе понятие гораздо более широкое, так как аналитическая функция не обязана быть определена на множестве комплексных чисел. Тот факт, что для комплекснозначных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают, является нетривиальным и весьма замечательным результатом комплексного анализа.

Определение

Пусть ${\displaystyle U}$  — открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$  — комплекснозначная функция на ${\displaystyle U}$ .

• Функцию ${\displaystyle f}$ называют комплексно дифференцируемой в точке ${\displaystyle z_{0}\in U}$ , если существует предел

  ${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

  • В этом выражении предел берется по всем последовательностям комплексных чисел, сходящихся к ${\displaystyle z_{0}}$ , для всех таких последовательностей выражение должно сходиться к одному и тому же числу ${\displaystyle f'(z_{0})}$ . Комплексное дифференцирование во многом похоже на вещественное: оно линейно и удовлетворяет тождеству Лейбница.
• Функцию ${\displaystyle f}$ называют голоморфной в ${\displaystyle U}$ , если она комплексно дифференцируема в каждой точке ${\displaystyle U}$ .
• Функцию ${\displaystyle f}$ называют голоморфной в ${\displaystyle z_{0}\in U}$ , если она комплексно дифференцируема в некоторой окрестности ${\displaystyle z_{0}}$ .

Связанные определения

• Целая функция — функция, голоморфная на всей комплексной плоскости.
• Мероморфная функция — функция, голоморфная в области ${\displaystyle \Omega /\{{z_{i}},\;i\in I\}}$ и имеющая во всех своих особых точках ${\displaystyle z_{i}}$ полюс.
• Функция ${\displaystyle f}$ называется голоморфной на компакте ${\displaystyle K}$ , если существует открытое множество ${\displaystyle D}$ , содержащее ${\displaystyle K}$ , такое что ${\displaystyle f}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ .

Свойства

• Комплексная функция ${\displaystyle u+iv=f(x+iy)}$ является голоморфной тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши — Римана

  ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

и частные производные ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}},\;{\frac {\partial u}{\partial y}},\;{\frac {\partial v}{\partial x}},\;{\frac {\partial v}{\partial y}}}$ непрерывны.

• Сумма и произведение голоморфных функций — голоморфная функция, что следует из линейности дифференцирования и выполнения правила Лейбница. Частное голоморфных функций также голоморфно во всех точках, где знаменатель не обращается в 0.
• Производная голоморфной функции опять является голоморфной, поэтому голоморфные функции являются бесконечно дифференцируемыми в своей области определения.
• Голоморфные функции являются аналитическими, то есть могут быть представлены в виде сходящегося в некоторой окрестности каждой точки ряда Тейлора. Таким образом, для комплексных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают.
• Из любой голоморфной функции можно выделить её вещественную и мнимую часть, каждая из которых будет решением уравнения Лапласа в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . То есть если ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$  — голоморфная функция, то ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$  — гармонические функции.
• Если абсолютная величина голоморфной функции достигает локального максимума во внутренней точке своей области определения, то функция постоянна (предполагается, что область определения связна). Отсюда следует, что максимум (и минимум, если он не равен нулю) абсолютной величины голоморфной функции могут достигаться лишь на границе области.
• В области, где первая производная голоморфной функции не обращается в 0, а функция однолистна, она осуществляет конформное отображение.
• Интегральная формула Коши связывает значение функции во внутренней точке области с её значениями на границе этой области.
• С алгебраической точки зрения, множество голоморфных на открытом множестве функций — это коммутативное кольцо и комплексное линейное пространство. Это локально выпуклое топологическое векторное пространство с полунормой, равной супремуму на компактных подмножествах.
• Согласно теореме Вейерштрасса, если ряд голоморфных функций в области ${\displaystyle D}$ равномерно сходится на любом компакте в ${\displaystyle D,}$ то его сумма также голоморфна, причём её производная является пределом производных частичных сумм ряда^[1].

История

Термин «голоморфная функция» был введён двумя учениками Коши, Брио (1817—1882) и Буке (1819—1895), и происходит от греческих слов őλoς (холос), что значит «целый», и μoρφń (морфе) — форма, образ.^[2]

Сегодня многие математики предпочитают термин «голоморфная функция» вместо «аналитическая функция», так как второе понятие более общее. Кроме того, одним из важных результатов комплексного анализа является то, что любая голоморфная функция является аналитической, что не очевидно из определения. Термин «аналитический» употребляют обычно для более общих функций, заданных не обязательно на комплексной плоскости.

Вариации и обобщения

Ссылки

1. ↑ А. В. Домрин, А. Г. Сергеев. Лекции по комплексному анализу. Первое полугодие. — М.: МИАН, 2004. — С. 79. — ISBN 5-98419-007-9.
2. ↑ Markushevich A. I., Silverman, Richard A. (ed.) Theory of functions of a Complex Variable. — М.: Американское математическое общество, 2-е изд. — ISBN 0-8218-3780-X, .

Литература

• Голоморфная функция // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

См. также

• Антиголоморфная функция
• Вычет