Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой (согласованная или подчиненная ).
Пусть K — основное поле (обычно K = R или K = C) и — линейное пространство всех матриц с m строками и n столбцами, состоящих из элементов K. На пространстве матриц задана норма, если каждой матрице ставится в соответствие неотрицательное действительное число , называемое ее нормой, так, что
В случае квадратных матриц (то есть m = n), матрицы можно перемножать не выходя из пространства, и потому нормы в этих пространствах обычно также удовлетворяют свойству субмультипликативности:
Субмультипликативность может выполняться также и для норм неквадратных матриц, но определённых сразу для нескольких нужных размеров. Именно, если A — матрица ℓ × m, и B — матрица m × n, то A B — матрица ℓ × n.
Важным классом матричных норм являются операторные нормы, также именуемые подчинёнными или индуцированными. Операторная норма однозначно строится по двум нормам, определённым в и , исходя из того, что всякая матрица m × n представляется линейным оператором из в . Конкретно,
При условии согласованного задания норм на пространствах векторов, такая норма является субмультипликативной (см. выше).
Свойства спектральной нормы:
Существуют нормы матриц, не являющиеся операторными. Понятие неоператорных норм матриц ввел Ю. И. Любич [3] и исследовал Г. Р. Белицкий.
Например, рассмотрим две различные операторные нормы и , например строчную и столбцовую нормы. Образуем новую норму . Новая норма обладает кольцевым свойством , сохраняет единицу и не является операторной[4].
Пусть — вектор из столбцов матрицы Норма по определению равна сумме евклидовых норм столбцов матрицы:
Норма может быть обобщена до нормы
Можно рассматривать матрицу как вектор размера и использовать стандартные векторные нормы. Например, из нормы при получается векторная p-норма:
Эта норма отличается от индуцированной p-нормы и от p-нормы Шаттена (см. ниже), хотя используется одно и то же обозначение.
Норма Фробениуса, или евклидова норма представляет собой частный случай p-нормы для p = 2: .
Норма Фробениуса легко вычисляется (по сравнению, например, со спектральной нормой). Обладает следующими свойствами:
Норма максимума модуля — другой частный случай p-нормы для p = ∞.
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Матричная норма на называется согласованной с нормами на и на , если:
для любых . Операторная норма по построению является согласованной с исходной векторной нормой.
Примеры согласованных, но не подчиненных матричных норм:
Все нормы в пространстве эквивалентны, то есть для любых двух норм и и для любой матрицы верно двойное неравенство:
где константы и не зависят от матрицы .
Для справедливы неравенства:
где , и — операторные нормы[7].
Матричные нормы часто используются при анализе вычислительных методов линейной алгебры. Например, программа решения систем линейных алгебраических уравнений может давать неточный результат, если матрица коэффициентов плохо обусловленная («почти вырожденная»). Для количественной характеристики близости к вырожденности нужно уметь измерять расстояние в пространстве матриц. Такую возможность дают матричные нормы[8].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .