WikiSort.ru - Не сортированное

Ограниченность и непрерывность

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда^{[источник не указан 1746 дней]} и только тогда, когда он непрерывен.

Собственно, норма

На ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями ${\displaystyle (T+S)x=Tx+Sx}$ и ${\displaystyle T(\alpha x)=\alpha (Tx)}$ , где ${\displaystyle T,S\in L(V_{1},V_{2})}$ , ${\displaystyle x\in V_{1}}$ , а ${\displaystyle \alpha \in K}$  — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, т.е. удовлетворяет соответственным аксиомам:

• ${\displaystyle \|T\|\geqslant 0}$ (по определению)
• ${\displaystyle \|T\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T=0}$ (следует из определения нормированного пространства)
• ${\displaystyle \|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|}$ для всех ${\displaystyle \alpha }$ из ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle \|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|}$ для всех ограниченных операторов ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ из V₁ в V₂.

Субмультипликативность

Если S — оператор из V₂ в V₃, а T — оператор из V₁ в V₂, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

${\displaystyle \|ST\|\leq \|S\|\|T\|}$ .

В случае V₁ = V₂ = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства ${\displaystyle L(V)}$ , и потому операторная норма превращает операторную алгебру ${\displaystyle L(V)}$ в нормированную алгебру.

Полнота

Пространство ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ является банаховым тогда и только тогда, когда V₁ нульмерно^[3] или V₂ банахово.

Если V — банахово пространство, то ${\displaystyle L(V)}$ с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Между конечномерными пространствами

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствах

Алгебра ограниченных операторов ${\displaystyle L(H)}$ (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

Операторной нормы с другими нормами

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими

В конечномерном случае (когда оба пространства V₁ и V₂ конечномерны), ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V₁ и V₂ бесконечномерны, на ${\displaystyle L(V_{1},V_{2})}$ возможны более слабые (грубые) топологии:

• Сильная операторная топология; название вводит в заблуждение, т.к. она слабее (грубее) топологии нормы.
• Слабая операторная топология; ещё слабее (грубее).