WikiSort.ru - Не сортированное

Нера́венство Берну́лли утверждает: если ${\displaystyle x\geq -1}$ , то

${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}.}$

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)\geq (1+nx)+x=1+(n+1)x}$ ,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при ${\displaystyle x>-1\!\ }$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {R} }$ :

• если ${\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}$ , то ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$
• если ${\displaystyle n\in (0;1)\!\ }$ , то ${\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx}$
• при этом равенство достигается в двух случаях: ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\forall x\neq -1,n=0,n=1\\\forall n\neq 0,x=0\end{matrix}}\right.}$

Примечания

• Неравенство также справедливо для ${\displaystyle x\geq -2}$ (при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ). Доказательство для случая ${\displaystyle x\in \left[-2,-1\right)}$ можно провести так же методом математической индукции.

${\displaystyle (1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geq (1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x)}$

Так как при ${\displaystyle x\in \left[-2,-1\right)}$ ${\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1\leq 1+nx(1+x)}$ , то ${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x}$

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.