WikiSort.ru - Не сортированное

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

История

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.^{[1]:138—139}

Формулировка

Если ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$  — корни многочлена

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},}$

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней^[2], а именно:

${\textstyle {\begin{matrix}a_{1}&=&-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n})\\a_{2}&=&c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n}\\a_{3}&=&-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n})\\&&\ldots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n})\\a_{n}&=&(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}\end{matrix}}}$

Иначе говоря, ${\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}$ равно сумме всех возможных произведений из ${\displaystyle k}$ корней.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},}$

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на ${\displaystyle a_{0}}$ (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\cdots c_{i_{k}},\ k=1,2\dots n}$

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n})}$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$ (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры

Вариации и обобщения

Из приведенного выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности ${\displaystyle \mathbb {K} }$ , если старший коэффициент многочлена равен единице ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве ${\displaystyle \mathbb {K} }$ кольцо вычетов по модулю 8 и многочлен ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1.}$ Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: ${\displaystyle 1,3,5,7.}$ Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны.

См. также

• Основная теорема алгебры
• Теорема Безу
• Тождества Ньютона
• Прыжки Виета

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.
• Weisstein, Eric W. Vieta's Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Viète theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)
• Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)