WikiSort.ru - Не сортированное

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм

Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал

Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция

Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле

Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс

Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток

Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Никола Тесла Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк Максвелл Оливер Хевисайд Генрих Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

См. также: Портал:Физика

Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние^[1]) (англ. impedance от лат. impedio «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.

Это понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году.^[2][3]

Аналогия с электрическим сопротивлением проводника на примере резистора

Резистор — пассивный элемент, обладающий чисто активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения и является пассивным элементом, поскольку не содержит внутренних источников энергии. Если к его концам приложить некоторое напряжение U (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток I. Если через резистор пропустить электрический ток I (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения U. Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения U, к току I (см. закон Ома для участка цепи):

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}.}$

Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:

• сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:

если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:

${\displaystyle U=0;}$

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;}$

• сопротивление идеального конденсатора стремится к бесконечности:

если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение U, то при любом значении U, ток через конденсатор будет нулевым:

${\displaystyle I=0;}$

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .}$

Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:

• напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
• ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.

Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.

Было бы удобно иметь некоторый параметр аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитывается и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.

Определение

Импедансом ${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;}$ называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, т. е. после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время t в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;={\frac {{\hat {u}}(j\omega ,t)\;}{{\hat {i}}(j\omega ,t)\;}}={\frac {U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}{I(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{i}(\omega ))}}}={\frac {U(\omega )e^{j\phi _{u}(\omega )}}{I(\omega )e^{j\phi _{i}(\omega )}}}={\frac {{\hat {U}}(j\omega )\;}{{\hat {I}}(j\omega )\;}}}$

(1)

Здесь:

• j — мнимая единица^[4];
• ${\displaystyle \omega }$  — циклическая (круговая) частота;
• ${\displaystyle U(\omega )}$ , ${\displaystyle I(\omega )}$  — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega }$ ;
• ${\displaystyle \phi _{u}(\omega )}$ , ${\displaystyle \phi _{i}(\omega )}$  — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega }$ ;
• ${\displaystyle {\hat {U}}(j\omega )\;}$ , ${\displaystyle {\hat {I}}(j\omega )\;}$  — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega .}$

Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как ${\displaystyle f(j\omega )}$ , а не ${\displaystyle f(\omega )}$ . Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ . Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: ${\displaystyle {\dot {U}}(j\omega )\;}$ чтобы отличать от соответствующих действительных величин.

Физический смысл

Тригонометрическая форма

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.

Ограничения

Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени t, поскольку при вычислении импеданса множитель ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ в (1) не сокращается.

• Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.

Обобщенный импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа

Импедансы, определенные через комплексную частоту ${\displaystyle j\omega }$ , позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщенный импеданс — функции комплексной переменной ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причем в таких вычислениях возбуждающий сигнал ${\displaystyle f_{in}(t)}$ из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление ${\displaystyle F_{t}(s)}$ через прямое преобразование Лапласа:

${\displaystyle F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.}$

Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы ${\displaystyle H(s)}$ :

${\displaystyle F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).}$

Двухполюсник	Обобщённый импеданс
Резистор	${\displaystyle R\,}$
Катушка индуктивности	${\displaystyle sL\,}$
Конденсатор	${\displaystyle {\frac {1}{sC}}\,}$

Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет ${\displaystyle R+sL}$ .

Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:

${\displaystyle f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t}(s)\,ds,}$

где ${\displaystyle \sigma _{1}\ }$  — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.

Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение

Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала, обобщённый комплексный коэффициент передачи ${\displaystyle H_{RC}(s)}$ такого делителя:

${\displaystyle H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+1}},}$

где обозначено ${\displaystyle T=RC}$  — постоянная времени RС-цепи.

Ступенчатый входной сигнал можно выразить через функцию Хевисайда ${\displaystyle h(t)}$ :

${\displaystyle U_{in}(t)=U_{0}\ h(t),}$

где ${\displaystyle U_{0}}$ - амплитуда ступеньки.

Преобразование Лапласа входного сигнала:

${\displaystyle F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.}$

${\displaystyle U_{out}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).}$

Таким образом, получен отклик цепи, такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Для практического применения расчета цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся функций.

Комбинируя преобразование Лапласа и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.

Вычисление импеданса

Идеальные элементы

Резистор

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению R и не зависит от частоты:

${\displaystyle z_{R}=R}$

(2)

Конденсатор

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

${\displaystyle i(t)=C{\frac {dU}{dt}}.}$

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

${\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}$

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

${\displaystyle {\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.}$

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

${\displaystyle {\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.}$

(6)

Катушка индуктивности

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

${\displaystyle {\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.}$

(7)

Общий случай

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

${\displaystyle {\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C}}+j\omega L=R+j\left(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).}$

(8)

Экспериментальное измерение импеданса

Импеданс реальных элементов может быть измерен специальными приборами: измерителем RLC или анализатором импеданса. Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных постоянных напряжениях смещения.

Применение импеданса

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье или преобразования Фурье и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал.

См. также

• Внутреннее сопротивление
• Адмиттанс
• АФЧХ

Примечания

Литература

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 1996.
• Графов Б. М., Укше Е. А. Электрохимические цепи переменного тока. — М.: Наука, 1983.