WikiSort.ru - Не сортированное

Материальные уравнения

Для полного определения электромагнитного поля уравнения Максвелла необходимо дополнить материальными уравнениями, связывающими векторы ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} }$ (а также ${\displaystyle \mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ) в веществе. В вакууме эти векторы совпадают, а в веществе связь между ними зачастую предполагают линейной:

${\displaystyle \mathbf {D} _{i}=\sum \limits _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {E} _{j}}$

Величины ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ образуют тензор диэлектрической проницаемости. В принципе, он может зависеть как от точки внутри тела, так и от частоты колебаний электромагнитного поля. В изотропных средах тензор диэлектрической проницаемости сводится к скаляру, называемому также диэлектрической проницаемостью. Материальные уравнения для ${\displaystyle \mathbf {D} }$ приобретают простой вид

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

Возможны среды, для которых зависимость между ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} }$ является нелинейной (в основном — сегнетоэлектрики).

Граничные условия

На границе двух веществ скачок нормальной компоненты ${\displaystyle D_{n}}$ вектора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ определяется поверхностной плотностью свободных зарядов:

: ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {n} )-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} -\epsilon \mathbf {n} )\right)=4\pi \sigma (\mathbf {r} )}$ (в СГС)

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {n} )-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} -\epsilon \mathbf {n} )\right)=\sigma (\mathbf {r} )}$ (в СИ)^{[источник не указан 1070 дней]}

Здесь ${\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}=(\mathbf {n} ;\nabla )\mathbf {D} }$  — нормальная производная, ${\displaystyle \mathbf {r} }$  — точка на поверхности раздела, ${\displaystyle \mathbf {n} }$  — вектор нормали к этой поверхности в данной точке, ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} )}$  — поверхностная плотность свободных зарядов. Уравнение не зависит от выбора нормали (внешней или внутренней). В частности, для диэлектриков уравнение означает, что нормальная компонента вектора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ непрерывна на границе сред. Простого уравнения для касательной составляющей ${\displaystyle \mathbf {D} }$ записать нельзя, она должна определяться из граничных условий для ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и материальных уравнений.