WikiSort.ru - Не сортированное

В магнитостатике

В магнитостатическом пределе^[4] наиболее важными являются:

• Закон Био — Савара — Лапласа: играет в магнитостатике ту же роль, что закон Кулона в электростатике:

  ${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{L_{1}}{\frac {I\left({\vec {r}}_{1}\right){\vec {dL_{1}}}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},}$

  ${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}_{1}\right)dV_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},}$

• Теорема Ампера о циркуляции магнитного поля^[5]:

  ${\displaystyle \oint \limits _{\partial S}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I_{S}\equiv \mu _{0}\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}},}$

  ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B}}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}.}$

В общем случае

Основные уравнения (классической) электродинамики общего случая (то есть независимо от ограничений магнитостатики), в которых участвует вектор магнитной индукции ${\displaystyle {\vec {B}}}$ :

• Три из четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики)

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,\ \ \ \ \,\mathrm {rot} \,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

а именно:

• Закон отсутствия монополя:

${\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,}$

• Закон электромагнитной индукции Фарадея:

${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},}$

• Закон Ампера — Максвелла:

${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.}$

• Формула силы Лоренца:

${\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}+q\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right],}$

Следствия из неё, такие как

• Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током)

${\displaystyle d{\vec {F}}=\left[I{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right],}$

${\displaystyle d{\vec {F}}=\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {B}}\right],}$

• выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь (виток с током, катушку или постоянный магнит):

${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}},}$

• выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

${\displaystyle U=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}},}$

• а также следующих из них выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле и т. д..
• Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

${\displaystyle {\vec {F}}=K{\frac {q_{m}{\vec {r}}}{r^{3}}}.}$

• (это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

• Выражение для плотности энергии магнитного поля

${\displaystyle w={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}}$

• Оно в свою очередь входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля и в лагранжиан электромагнитного поля и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).