Интегра́л Дюаме́ля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющееся во времени входное воздействие. Применимость этого интеграла основано на принципе суперпозиции для линейных систем, в которых отклик её на сумму нескольких воздействий как одновременных, так и сдвинутых во времени равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов.
Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.
Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика, предложившего его для расчёта отклика механических систем.
Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) некоторых стандартных сигналов, для которых отклик системы , называемый переходной функцией, известен.
В качестве стандартного входного сигнала в этом методе используется ступенчатая функция Хевисайда . Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.
Таким образом, зная отклик системы на воздействие в виде функции Хевисайда, описанный в аналитическом виде или полученный экспериментально, можно предсказать (рассчитать) отклик системы на произвольное входное воздействие.
Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить или измерить переходную функцию системы , которая является откликом системы на ступенчатый единичный входной сигнал (рис. 2).
Переходная функция, если она неизвестна, находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод измерением и т. д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2[1].
Если входной сигнал системы описывается функцией , где - независимая переменная, реакция системы на этот сигнал выражается формулой, где производная входного воздействия по времени:
В случае, если входной сигнал составной и функция испытывает разрывы (моменты времени , на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0, ]:
Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающих из принципа суперпозиции:
Последние формулы означают, что:
Для линейной цепи рис. 1 найдём ток через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.
Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения
где — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала, — комплексная переменная.
Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:
Полагая, что в момент времени конденсатор разряжен, получим
Интервалы для вычисления | |||
---|---|---|---|
Сигнал | Интервал | ||
Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах, указанных в таблице.
Решение ищется кусочно, для каждого интервала времени, в формулах
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .