WikiSort.ru - Не сортированное

Матрица Яко́би отображения ${\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ описывает главную линейную часть произвольного отображения ${\displaystyle \mathbf {u} }$ в точке ${\displaystyle x}$ .

Определение

Пусть задано отображение ${\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,}$ имеющее в некоторой точке ${\displaystyle x}$ все частные производные первого порядка. Матрица ${\displaystyle J}$ , составленная из частных производных этих функций в точке ${\displaystyle x}$ , называется матрицей Якоби данной системы функций.

${\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$

Иными словами, матрица Якоби является производной векторной функции от векторного аргумента.

Связанные определения

• Если ${\displaystyle m=n}$ , то определитель ${\displaystyle |J|}$ матрицы Якоби называется определителем Якоби или якобиа́ном системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ .
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимально возможный ранг:

  ${\displaystyle \mathrm {rank} \,J=\min(m,n)}$

Свойства

• Если все ${\displaystyle u_{i}}$ непрерывно дифференцируемы в окрестности ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ , то

  ${\displaystyle \mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)}$

• Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$ — дифференцируемые отображения, ${\displaystyle J_{\varphi },J_{\psi }}$ — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  ${\displaystyle J_{\psi \circ \varphi }(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)}$

См. также

• Якобиан

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.