WikiSort.ru - Не сортированное

Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент ${\displaystyle \mathbf {a} }$ кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент ${\displaystyle b}$ , что ${\displaystyle {\mathbf {a} }b=b{\mathbf {a} }=e}$ , где e — единичный элемент кольца. Далее под словом «кольцо» подразумевается «кольцо с единичным элементом».

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.

Если ${\displaystyle \mathbf {a} }$  — делитель единицы, то элементы, представимые в виде ${\displaystyle {\mathbf {a} }x}$ или ${\displaystyle x{\mathbf {a} }}$ называются ассоциированными с ${\displaystyle x}$ .

Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Группа единиц

Обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение — R^×, R^* и E(R) (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциированностью, где

r ~ s

означает, что существует единица u, такая, что r = us.

Можно показать, что U — это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм колец f : R → S порождает гомоморфизм групп U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является телом тогда и только тогда, когда U(R) = R \ {0}.

Примеры

• В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и −1.
• В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
• В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: ${\displaystyle +1,\ -1,\ i,\ -i}$ .
• В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.