WikiSort.ru - Не сортированное

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной ${\displaystyle l}$ и одна частица массой ${\displaystyle m}$ в нём.

Обозначим скорость движения ${\displaystyle v_{x}}$ , тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен ${\displaystyle mv_{x}}$ , а после — ${\displaystyle -mv_{x}}$ , поэтому стенке передается импульс ${\displaystyle p=2mv_{x}}$ . Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно ${\displaystyle t={\frac {2l}{v_{x}}}}$ .

Отсюда следует:

${\displaystyle F_{x}={\frac {p}{t}}={\frac {2mv_{x}^{2}}{2l}}}$

Так как давление ${\displaystyle p={\frac {F}{S}}}$ , следовательно сила ${\displaystyle F=p*S}$

Подставив, получим: ${\displaystyle p_{x}S={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}}$

Преобразовав: ${\displaystyle p_{x}={\frac {mv_{x}^{2}}{lS}}}$

Так как рассматривается кубический сосуд, то ${\displaystyle V=Sl}$

Отсюда:

${\displaystyle p_{x}={\frac {mv_{x}^{2}}{V}}}$ .

Соответственно, ${\displaystyle p_{y}={\frac {mv_{y}^{2}}{V}}}$ и ${\displaystyle p_{z}={\frac {mv_{z}^{2}}{V}}}$ .

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: ${\displaystyle P_{x}=N{\frac {m{\bar {v_{x}^{2}}}}{V}}}$ , аналогично для осей y и z.

Поскольку ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$ , то ${\displaystyle {\bar {v_{x}^{2}}}={\bar {v_{y}^{2}}}={\bar {v_{z}^{2}}}={\frac {1}{3}}{\bar {v^{2}}}}$ . Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.

Отсюда ${\displaystyle P_{x}=P_{y}=P_{z}=P={\frac {Nm{\bar {v^{2}}}}{3V}}}$

или ${\displaystyle PV={\frac {N}{3}}m{\bar {v^{2}}}}$ .

Пусть ${\displaystyle \,E_{k}}$  — среднее значение кинетической энергии одной молекулы, тогда:

${\displaystyle PV={\frac {2}{3}}NE_{k}={\nu }RT}$ , откуда, используя то, что ${\displaystyle {\nu }={\frac {N}{N_{A}}}}$ (количество вещества), а ${\displaystyle R=N_{A}k}$ , имеем ${\displaystyle {E_{k}}={\frac {3}{2}}kT}$ .