Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества (то есть биекций ) относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества обычно обозначается , если , то также обозначается через . Поскольку для равномощных множеств ( ) изоморфны и их группы перестановок ( ), потому для конечной группы порядка группу её перестановок отождествляют с .
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка .
Подгруппа симметрической группы называется группой перестановок (подстановок) [1].
Каждая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы (теорема Кэли).
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: . При симметрическая группа некоммутативна.
Симметрическая группа допускает следующее задание:
Можно считать, что переставляет и . Максимальный порядок элементов группы — функция Ландау.
Группы разрешимы, при симметрическая группа является неразрешимой.
Симметрическая группа является совершенной (то отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае группа имеет ещё один внешний автоморфизм[en]. В силу этого и предыдущего свойства при все автоморфизмы являются внутренними, то есть каждый автоморфизм имеет вид для некоторого .
Число классов сопряжённых элементов симметрической группы равно числу разбиений числа [2]. Множество транспозиций является порождающим множеством . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Центр симметрической группы тривиален при . Коммутантом является знакопеременная группа ; причём при — единственная нетривиальная нормальная подгруппа , а имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.
Любая подгруппа группы перестановок представима группой матриц из , при этом каждой перестановке соответствует перестановчных матриц (матрица, у которой все элементы в ячейках равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка представляется следующей матрицей :
Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе .
Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна , а группа вращений куба изоморфна .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .