Центр группы в теории групп — множество элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:
Группа является абелевой в том и только в том случае, когда её центр совпадает с ней: ; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости». Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента.
Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.
Центр группы всегда является её подгруппой: всегда содержит нейтральный элемент (так как он коммутирует с любым элементом группы по определению), замкнут относительно групповой операции и вместе с входящими элементами содержит их обращения.
Центр группы G всегда является нормальной подгруппой G, поскольку он замкнут относительно сопряжения. Более того, центр группы — характеристическая подгруппа, но при этом — не вполне характеристическая подгруппа[en].
Факторгруппа изоморфна группе внутренних автоморфизмов группы .
По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.
Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.
Ядро отображения , ставящего в соответствие элементу группы автоморфизм, заданный формулой:
является в точности центром группы G, а образ отображения f называется внутренним автоморфизмом группы G, который обозначается ; по первой теореме об изоморфизме имеет место:
Коядром отображения f является группа внешних автоморфизмов[en]; таким образом, имеет место точная последовательность:
Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом[en]:
Ядро отображения — это i-й центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются . Конкретно, -й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром[en][2].
Возрастающая последовательность подгрупп:
стабилизируется на (что означает, ) тогда и только тогда, когда не имеет центра.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .