WikiSort.ru - Не сортированное

В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа ${\displaystyle (G,\circ )}$ изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент ${\displaystyle a\in G}$ сопоставляется с перестановкой ${\displaystyle \pi _{a}}$ , задаваемой тождеством ${\displaystyle \pi _{a}(g)=a\circ g,}$ где g — произвольный элемент группы G.

Пример

Рассмотрим группу ${\displaystyle \ G=\mathbb {Z} _{4}}$ , с заданной операцией + . Найдём её отображение в ${\displaystyle \ S_{4}}$ , то есть найдём подгруппу ${\displaystyle \ S_{4}}$ изоморфную ${\displaystyle \ G}$ .

Определим отображение ${\displaystyle \ \varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}}$

${\displaystyle \varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}}$

Построение это не случайное. Для примера рассмотрим ${\displaystyle \varphi (1)}$ . Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы ${\displaystyle \ G=\mathbb {Z} _{4}}$ ) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру, ${\displaystyle \varphi (0)}$ задаёт тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} _{G}(g)=g}$ . В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходит элемент g, нужно сделать операцию ${\displaystyle g+0}$ , то есть получим ${\displaystyle g+0=g}$ , то есть нижняя строчка перестановки идентична верхней.

Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка ${\displaystyle \varphi (0)}$ задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 0. Перестановка ${\displaystyle \varphi (1)}$ задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 1. ${\displaystyle \varphi (2)}$ задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 2. ${\displaystyle \varphi (3)}$ задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы ${\displaystyle \ \mathbb {Z} _{4}}$ .

Обратите внимание, отображение ${\displaystyle \ \varphi }$ является гомоморфизмом. К примеру, ${\displaystyle \ \varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)}$ . Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

Доказательство теоремы

Пусть ${\displaystyle \ G}$ конечная группа порядка ${\displaystyle \ n}$ . Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок ${\displaystyle \ S_{n}}$ . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию ${\displaystyle \ \varphi :G\rightarrow S_{G}}$ , где ${\displaystyle \ S_{G}}$ является собранием перестановок G. Группу ${\displaystyle \ \varphi (g):G\rightarrow G}$ определяем с помощью умножения слева ${\displaystyle \ (\varphi (g))(x)=gx}$ (в примере приведённом выше это была операция сложения в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ).

Докажем, что мы получили перестановку. Если ${\displaystyle \ gx=gy}$ , то ${\displaystyle \ x=y}$ , так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует ${\displaystyle g^{-1}}$ ). Кроме того, действие ${\displaystyle \ \varphi (gh)}$ на элемент группы x равняется ${\displaystyle \ (\varphi (gh))(x)=(gh)x}$ и это равняется ${\displaystyle \ \varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)}$ в виду ассоциативности G. Наконец, если ${\displaystyle \ \varphi (g)=\varphi (h)}$ то тогда ${\displaystyle \ g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h}$ и поэтому ${\displaystyle \ \varphi }$ является инъективной (1-1).

Литература

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Александров П.С. Введение в теорию групп. Библиотечка «Квант». Вып. 7. М.: Наука, 1980.