WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Часто обозначается $V$ или $V_{4}$ (от нем. Vierergruppe — четверная группа).

Определение

Бинарная операция между элементами четверной группы Клейна задаётся следующей таблицей умножения^[1]:

*	1	a	b	c
1	1	a	b	c
a	a	1	c	b
b	b	c	1	a
c	c	b	a	1

Здесь $1,a,b,c$ — элементы четверной группы Клейна, единица обозначает нейтральный элемент группы. В этой таблице в первом столбце указан первый участник бинарной операции, в первой строке указан второй участник операции, на пересечении строки и столбца находится результат операции, задающей группу.

Из таблицы видно, что порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической.

Свойства

Является прямым произведением циклических групп второго порядка $C_{2}$ × $C_{2}$ .
Представляет собой простейшую группу диэдра $(D_{2})$ ^[2].
Является наименьшей по порядку нециклической группой.
Любая группа четвертого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна.
Симметрическая группа $S_{4}$ имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу $A_{4}$ и четверную группу Клейна $D_{2}$ , состоящую из подстановок ( ), (12)(34), (13)(24), (14)(23)^[2].

Некоторые применения

Данная группа встречается во многих разделах математики. Примеры изоморфных ей групп:

Множество {0, 1, 2, 3} с операцией побитовое исключающее ИЛИ.
Приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7.
Группа симметрий ромба (в пространстве), состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на $180^{\circ }$ и два отражения относительно диагоналей^[3].
Группа поворотов тетраэдра на угол $\pi$ вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)^[4].

История

Группа впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году в работе «Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade»^[5].

Примечания

↑ П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвертого порядка», c. 23;
1 2 Зайцев В. Ф. «Введение в современный групповой анализ», Санкт-Петербург, 1996, УДК 517.9, п. 2 «Дискретные группы преобразований», c. 10
↑ П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», c. 71;
↑ П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», c. 75;
↑ Клейн Ф. «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.» — М.: «Наука», 1989. — 336 с.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвертого порядка», c. 23;

[zaizev-2] 1 2 Зайцев В. Ф. «Введение в современный групповой анализ», Санкт-Петербург, 1996, УДК 517.9, п. 2 «Дискретные группы преобразований», c. 10

[3] П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», c. 71;

[4] П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», c. 75;

[5] Клейн Ф. «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.» — М.: «Наука», 1989. — 336 с.