Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.
Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.
Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:
где
здесь — натуральное, — числа Бернулли, — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные , — многочлен Бернулли, — дробная часть x. В случае, когда мало, получаем хорошее приближение для суммы.
Многочлены Бернулли определяются рекуррентно как
Выражение называется периодической функцией Бернулли.
Остаточный член R может быть легко выражен в терминах :
или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:
где . Можно показать, что
где обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как
Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть — разностный оператор, — оператор суммирования, — оператор дифференцирования, — оператор интегрирования. Тогда оператор обратен к , а обратен к . Можно выразить через с помощью формулы Тейлора:
т.е. и тогда , а поскольку , то
Применяя это операторное соотношение к , получаем искомую формулу, но без остаточного члена.
Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.
Достаточно доказать формулу при , поскольку мы можем любой отрезок с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в . При формула имеет вид
Доказательство будем вести индукцией по m.
База. При . Интегрируя по частям, при , мы получаем:
Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства , то есть нужно доказать, что
Здесь снова применима формула интегрирования по частям при : , поэтому формула верна благодаря тому, что
то есть , а это верно, поскольку при нечётных m у нас .
Вычислим сумму степеней . Положим , тогда и , вычисляя интегралы, получаем:
Вычислить сумму
Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна , что и было им доказано в том же году.[1][2]
Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.
Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:
где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов или , или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,
Здесь левая часть равна , называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как ; гамма-функция равна , если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение . Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.
Полагаем , тогда и тогда получаем
где . Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера .
Полагаем , тогда и тогда получаем
где на самом деле . Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .