Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными данными. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.
Грубо говоря, пучок на топологическом пространстве задаётся данными двух типов с двумя дополнительными свойствами.
Первая часть данных заключена в отображении, сопоставляющем каждому открытому подмножеству пространства некое (абстрактное) множество . Можно требовать вдобавок, чтобы на этом множестве была бы задана определённая структура, но пока что ограничимся лишь тем, что это просто множество.
Вторая часть данных состоит в том, что для каждой пары открытых множеств зафиксировано некоторое отображение , называемое сужением. (Оно действует аналогично операции сужения на область функций, заданных на )
Требуется также, чтобы эти данные обладали следующими двумя свойствами:
Основной пример даёт пучок непрерывных функций на топологическом пространстве X. Ограничение непрерывной функции на открытое подмножество есть непрерывная функция на этом подмножестве, и функция, заданная частично на открытых подмножествах, может быть восстановлена на их объединении.
Точнее, для каждого открытого подмножества пространства обозначим множество всех непрерывных вещественнозначных функций . Имея открытое множество , содержащееся в , и функцию из , мы можем сузить область определения функции до множества и получить функцию . Ограничение есть непрерывная функция на , следовательно, оно является элементом множества . Таким образом, определено отображение ограничения .
Аксиома нормализации, очевидно, выполнена, так как есть только одна непрерывная функция из пустого множества в R — пустая функция. Чтобы показать, что справедлива и аксиома склейки, предположим, что задана согласованная система непрерывных функций , . Это означает, что ограничения функций и на множестве должны совпадать. Определим теперь функцию следующим образом: так как — объединение всех , каждая точка из покрыта множеством для некоторого . Определим значение функции в точке равным . Это определение корректно: если лежит также и в , то по условию согласованности , поэтому всё равно, какой из этих функций пользоваться для определения . При этом функция непрерывна в точке , так как в её окрестности совпадает с непрерывной функцией . В итоге функция непрерывна в каждой точке из , то есть непрерывна в . Более того, — это единственная непрерывная функция, ограничение которой на области совпадает с , так как функция полностью определяется своими значениями в точках. Как следствие, существует одна и только одна функция, склеенная из функций , а именно .
На самом деле, полученный пучок есть не просто пучок множеств. Так как непрерывные функции можно поточечно складывать и получать снова непрерывные функции, этот пучок также есть пучок абелевых групп. Так как их также можно перемножать, этот пучок есть пучок коммутативных колец. Так как непрерывные функции на множестве образуют векторное пространство над R, то этот пучок — пучок алгебр над R.
Для простоты будем работать с пространством R. Допустим, на R задано дифференциальное уравнение и ищутся гладкие решения, то есть гладкие функции , удовлетворяющие этому уравнению. В предыдущем примере было описано, как строится пучок непрерывных функций на R. Подобная конструкция дословно с заменой слов «непрерывная» на слова «гладкая» применима для построения пучка гладких функций на R. Обозначим этот пучок через . — это множество гладких функций . Некоторые элементы являются решениями уравнения . Оказывается, эти решения сами по себе образуют пучок.
Для каждого открытого множества , пусть — множество гладких функций таких, что . Отображения ограничения — всё ещё сужения функций, так же, как в . всё также состоит из пустой функции. Чтобы проверить аксиому склейки, пусть — набор открытых множеств, и — их объединение. Пусть — элементы , согласованные на пересечениях, то есть . Определим так же, как и раньше: всегда, когда определено. Чтобы убедиться, что всё ещё решение дифференциального уравнения, заметим, что удовлетворяет ему в каждом из множеств , так как там она совпадает с функцией . Следовательно, есть решение уравнения . Чтобы проверить, что единственна, заметим, как и раньше, что определяется своими значениями в точках, и эти значения должны совпадать со значениями на . Итак, — единственная склейка функций , поэтому есть пучок.
Заметим, что
содержится в
при любом
. Кроме того, если
— элемент
, а
— открытое множество, содержащееся в
, тогда результат применения отображения ограничения на
функции
в пучке
будет тот же, что и в пучке
. В таких случаях говорят, что пучок
является подпучком пучка
.
В зависимости от дифференциального уравнения может случиться так, что при сложении двух решений этого уравнения снова получается его решение — например, если линейно. В этом случае будет пучком групп с групповой операцией, заданной поточечным сложением функций. Однако в общем случае — всего лишь пучок множеств, а не пучок групп или колец.
Пусть — гладкое многообразие. Векторное поле на сопоставляет каждой точке на вектор из — касательного пространства к в точке . Требуется, чтобы гладко зависело от . Определим пучок , который будет нести информацию о векторных полях на . Для каждого открытого множества , рассмотрим как гладкое многообразие и пусть — множество всех (гладких) векторных полей на . Другими словами, есть множество функций , которые точке на сопоставляют вектор из , гладко от неё зависящий. Поскольку открыто, . Определим отображения ограничения как сужения векторных полей.
Чтобы показать, что есть пучок, сначала заметим, что состоит из одной только пустой функции, так как в пустом множестве нет точек. Проверим теперь аксиому склейки. Пусть , — набор открытых множеств, и U — их объединение. На каждом открытом множестве , выберем векторное поле , и предположим, что эти поля согласованы на пересечениях, то есть . Теперь определим новое векторное поле V на U следующим образом: для всякого x из U, выберем , содержащее x. Определим V(x) как . Поскольку поля согласованы на пересечениях, V корректно определено. Более того, V(x) есть касательный вектор из , гладко зависящий от x, так как гладко зависит от x и «гладкая зависимость» — локальное свойство. Наконец, V есть единственно возможная склейка полей , так как V однозначно определяется своими значениями в каждой точке x, а эти значения должны совпадать со значениями поля на .
Можно дать другое определение пучка , использующее касательное расслоение TM многообразия M. Рассмотрим естественную проекцию , которая паре (x, v), где x точка на M , а v — вектор из , сопоставляет точку x. Векторное поле на открытом множестве U — это то же, что сечение проекции p, то есть, гладкое отображение такое, что , где — тождественное отображение на U. Другими словами, сечение s сопоставляет точке x пару (x, v) гладким образом. Отображение s не может сопоставить точке x пару (y, v) с , из-за условия . Это позволяет представить касательный пучок как пучок сечений касательного расслоения. Другими словами, при любом U есть множество всех сечений проекции p, и отображения ограничения — обычное сужение функций. По аналогии можно построить пучок сечений любого непрерывного отображения топологических пространств.
Пучок — это всегда пучок групп с поточечными операциями сложения векторов. Однако, обычно не есть пучок колец, так как на векторах не определена естественным образом операция умножения.
Первый шаг в определении понятия пучка состоит в определении понятия предпучка, которое охватывает пространства данных, ассоциированные с каждым открытым подмножеством топологического пространства, и операции ограничения этих данных с более крупных подмножеств на более мелкие. На втором шаге накладываются дополнительные ограничения — требования выполнимости аксиом нормализации и склейки. Предпучок, удовлетворяющий этим требованиям, и есть пучок.
Пусть X — топологическое пространство, а C — некоторая категория. Над пространством X задан предпучок F со значениями в категории C, если[1]:
Эти морфизмы называются морфизмами ограничения. Совокупность этих морфизмов должна удовлетворять следующим условиям:
Последнее условие означает, что должно быть безразлично, ограничиваем мы данные с области U на область W непосредственно, или в два этапа — с предварительным ограничением на V, а с неё уже — на W.
Весьма компактным определение предпучка получается в терминах теории категорий. Сначала определяется категория O(X) открытых множеств пространства X, объектами которой являются открытые подмножества X, а множество морфизмов объекта V этой категории в объект U в случае, если V — подмножество U, состоит из единственного морфизма — отображения включения V в U, и пусто в противном случае. Тогда предпучок над пространством X со значениями в категории C — это всякий контравариантный функтор F из категории O(X) в категорию C. Такое определение предпучка допускает дальнейшее обобщение, когда рассматриваются функторы в C не обязательно из категории вида O(X) (см. предпучок (теория категорий)).
Если над пространством X задан предпучок F со значениями в категории C, и U — открытое подмножество X, объект F(U) называется пространством сечений предпучка F над множеством U. Если C — конкретная категория, тогда каждый элемент множества F(U) называется сечением пучка F над U, по аналогии с сечениями расслоённых пространств и этального пространства пучка (см. ниже). Сечение над X называется глобальным сечением. Ограничение сечения обычно обозначается как . F(U) также часто обозначается как , особенно в контексте теории когомологий пучков, в которой область U фиксируется, а пучок F — переменный.
Пучок — это предпучок, в котором выполнены 2 аксиомы[2].
Разумеется, чтобы аксиома имела смысл, нужно, чтобы категория C обладала терминальным объектом. На практике обычно это так и есть.
Однако более важная аксиома — аксиома склейки. Напомним, что в примерах, разобранных выше, эта аксиома требовала, чтобы набор данных (сечений пучка), согласованных на пересечениях их областей определения, всегда допускал (притом однозначно) их склейку — сечение над объединением открытых множеств, над которыми это сечение задано как бы частично. Для простоты сформулируем аксиому склейки в случае, когда C — конкретная категория. Общий случай смотри в статье «аксиома склейки».
Пусть — набор открытых множеств пространства X, и U — их объединение. Пусть над каждым из них задано сечение (пред)пучка F. Набор этих сечений называется согласованным (англ. compatible), если для всяких i и j
Аксиома склейки для F выполнена, если
Сечение s называется склейкой (англ. gluing, concatenation, collation) сечений , так как оно как бы склеено из более мелких сечений.
В примерах, данных выше, сечениям пучков соответствовали некоторые функции. В таких случаях аксиома склейки исходит из функций , совпадающих на пересечениях , и утверждает существование единственной функции f, одновременно продолжающей все функции на множество U, — как раз то, что было показано в тех примерах для доказательства того, что в них действительно предъявлен пучок.
Часто аксиому склейки подразделяют на две части — на аксиому существования и аксиому единственности. Предпучки, удовлетворяющие только аксиоме единственности, называются отделимыми (англ. separated) предпучками.
Так как пучки в точности заключают в себе данные, необходимые для перехода от ситуаций локальных к глобальным, существует множество примеров пучков, возникающих в математике. Вот несколько дополнительных примеров пучков:
Некоторые математические структуры определяются как пространства с фиксированным пучком на нём. Например, пространство с пучком колец над ним (на нём) называется окольцованным пространством. Если все слои (см. ниже) пучка — локальные кольца, тогда это локально окольцованное пространство. Если сечения пучка локальных колец локально представимы как элементы некоторого коммутативного кольца, получаем схему.
Вот 2 примера предпучков, которые не являются пучками:
Поскольку пучки содержат данные, соотнесённые каждому открытому подмножеству пространства X, морфизм пучков определяется как набор отображений, по одному для каждого открытого множества, удовлетворяющий некоторым условиям согласованности.
Пучки — это предпучки специального вида, подобно тому, как абелевы группы являются специальным случаем групп (пучки образуют полную подкатегорию в категории предпучков). Другими словами, морфизм пучков это то же, что морфизм в категории предпучков, но между объектами, которые являются пучками; аксиома склейки в определении морфизма никак не задействована.
В этом разделе все пучки определены над пространством X и принимают значения в фиксированной категории C (когда речь пойдёт о ядре и коядре морфизмов, предполагается, что C — абелева категория).
Пусть и — два таких пучка. Морфизм C-пучков на X сопоставляет каждому открытому множеству U пространства X морфизм так что все эти морфизмы согласованы друг с другом и с отображениями ограничения в обоих пучках. Другими словами, для каждого открытого множества V и его открытого подмножества U имеет место коммутативная диаграмма:
Это условие согласованности означает, что каждому сечению s пучка G над открытым множеством V сопоставлено некоторое сечение над V пучка F, и их ограничения на открытое подмножество U множества V связаны морфизмом . (Ограничение на V -образа сечения s совпадает с -образом его ограничения на V.)
Простой факт, что морфизм пучков является изоморфизмом (то есть имеет обратный морфизм) в точности тогда, когда все морфизмы являются изоморфизмами (обратимы). То же верно для мономорфизмов и не верно для эпиморфизмов. Это связано с тем, что ядро морфизма пучков всегда является пучком, а образ и коядро могут и не быть (но всегда будут отделимыми предпучками). Смотри статью «Когомологии пучков».
Далее пучки принимают значения в фиксированной категории C, но могут быть определены над разными пространствами.
Пусть X и Y — топологические пространства с заданными на них пучками OX и OY соответственно. Морфизм пары (X, OX) в (Y, OY) задаётся с помощью следующих данных:
Это определение годится и для определения морфизма предпучков над разными пространствами.
Часто бывает полезно данные, которые образуют предпучок, представить с помощью пучка. Оказывается, существует очень удобная процедура, позволяющая это сделать. Возьмём предпучок и построим новый пучок , называемый пучком, ассоциированным с предпучком . называется функтором ассоциированного пучка (англ. sheaving functor, sheafification functor, associated sheaf functor). Существует естественный морфизм предпучков со свойством универсальности, состоящем в том, что для любого пучка и морфизма предпучков , существует единственный морфизм пучков такой, что . На самом деле есть сопряжённый функтор к функтору вложения категории пучков в категорию предпучков, а есть единица сопряжения.
Слой пучка позволяет описать свойства пучка «рядом» с точкой x ∈ X. Здесь «рядом» означает, что мы смотрим на как можно меньшую окрестность точки. Конечно, никакая окрестность сама по себе не является достаточно малой, но мы можем рассмотреть их предел (или, точнее, копредел).
Слой над точкой x определяется как
прямой предел всех окрестностей точки x. Другими словами, элемент слоя является сечением пучка в некоторой окрестности x, причем два таких сечения соответствуют одному элементу пучка, если они имеют одинаковое ограничение на некоторую окрестность точки x.
Естественный морфизм F(U) → Fx переводит сечение s в окрестности F(U) в его росток. Это обобщает обычное определение ростка.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .