WikiSort.ru - Не сортированное

Спектральная последовательность фильтрованного комплекса

Многие спектральные последовательности происходят из фильтрованных коцепных комплексов. Это коцепной комплекс C^• со множеством подкомплексов F^pC^•, где p — произвольное целое число. (На практике, p обычно ограничено с одной стороны.) Требуется, чтобы граничное отображение было согласовано с этой фильтрацией; то есть чтобы выполнялось d(F^pCⁿ) ⊆ F^pCⁿ⁺¹. Мы считаем фильтрацию убывающей, то есть F^pC^• ⊇ F^p+1C^•. Мы будем нумеровать члены коцепного комплекса индексом n. Позднее, мы будем также предполагать, что фильтрация хаусдорфова или отделима, то есть пересечение всех F^pC^• нулевое, и что фильтрация исчерпывающая, то есть объединение всех F^pC^• — это весь коцепной комплекс C^•.

Фильтрация полезна, потому что она даёт меру близости к нулю: когда p увеличивается, F^pC^• становится ближе к нулю. Мы построим спектральную последовательность из этой фильтрации, в которой кограницы и коциклы в последующих листах становятся ближе и ближе к кограницам и коциклам исходного комплекса. Эта спектральная последовательность будет дважды градуирована фильтрационной степенью p и дополнительной степенью {{{1}}}. (Дополнительная степень часто является более удобным индексом, чем n. Например, это так для спектральной последовательности двойного комплекса. описанной ниже.)

Мы построим эту спектральную последовательность вручную. C^• имеет только одну градуировку и фильтрацию, так что мы сначала построим дважды градуированный объект из C^•. Чтобы получить вторую градуировку, мы перейдём к ассоциированному градуированному объекту относительно фильтрации. Мы будем обозначать его необычным образом, что будет оправдано на шаге E₁:

${\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle B_{0}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}}$

${\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}}$

Так как мы предполагали, что граничное отображение согласовано с фильтрацией, E₀ является дважды градуированным объектом и существует естественное дважды градуированное граничное отображение d₀ на E₀. Чтобы получить E₁, мы возьмём гомологию E₀.

${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}$

${\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}$

Заметим, что ${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}}$ и ${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}}$ могут быть описаны как образы в ${\displaystyle E_{0}^{p,q}}$ от

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

и что мы имеем

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}}$  — это в точности то, что дифференциал перемещает на один уровень вверх по фильтрации, и ${\displaystyle B_{1}^{p,q}}$  — это в точности образ того, что дифференциал перемещает на ноль уровней вверх по фильтрации. Это подсказывает, что мы должны определить ${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$ как то, что дифференциал перемещает на r уровней вверх по фильтрации и ${\displaystyle B_{r}^{p,q}}$  — как образ того, что дифференциал перемещает на r-1 уровней вверх по фильтрации. Другими словами, спектральная последовательность должна удовлетворять

${\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}$

и мы должны иметь соотношение

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).}$

Чтобы это имело смысл, мы должны найти дифференциал d_r на каждом E_r и проверить, что его гомологии изоморфны E_r+1. Дифференциал

${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}}$

определяется как ограничение исходного дифференциала d с ${\displaystyle C^{p+q}}$ на подобъект ${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$ .

Нетрудно проверить, что гомологии E_r относительно этого дифференциала — это E_r+1, так что мы получаем спектральную последовательность. К сожалению, дифференциал описан не очень явно. Нахождение дифференциалов или способов обойтись без них — это одна из главных проблем, стоящих на пути успешного применения спектральной последовательности.

Спектральная последовательность двойного комплекса

Другая часто встречающаяся спектральная последовательность — это спектральная последовательность двойного комплекса. Двойной комплекс — это набор объектов C_{i, j} для всех целых i и j, вместе с двумя дифференциалами, d ^I и d ^II. По соглашению, d ^I уменьшает i и d ^II уменьшает j. Более того, мы предполагаем, что эти два дифференциала антикоммутируют, так что d ^I d ^II + d ^II d ^I = 0. Наша цель — сравнить итерированные гомологии ${\displaystyle H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))}$ и ${\displaystyle H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))}$ . Мы сделаем это, профильтровав наш двойной комплекс двумя способами. Вот наши фильтрации:

${\displaystyle (C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

Чтобы получить спектральную последовательность, мы сведём ситуацию к предыдущему примеру. Мы определяем тотальный комплекс T(C_•,•) как комплекс, n-й член которого — это ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$ и дифференциал которого — это d ^I + d ^II. Это — комплекс, так как d ^I и d ^II — антикоммутирующие дифференциалы. Две фильтрации на C_{i, j} индуцируют две фильтрации на тотальном комплексе:

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

Чтобы показать, что эти спектральные последовательности дают информацию об итерированных гомологиях, мы опишем члены E⁰, E¹ и E² фильтрации I на T(C_•,•). Член E⁰ устроен просто:

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

где n = p + q.

Чтобы найти член E¹, мы должны описать d ^I + d ^II на E⁰. Заметим, что дифференциал должен иметь степень −1 относительно n, так что мы получаем отображение

${\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}}$

Следовательно, дифференциал на E⁰ — это отображение C_p,q → C_p,q−1, индуцированное d ^I + d ^II. Но d ^I имеет неправильную степень, чтобы индуцировать такое отображение, так что d ^I должен быть нулевым на E⁰. Это значит, что дифференциал — это в точности d ^II, так что мы получаем

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).}$

Чтобы найти E², мы должны определить

${\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{II}(C_{p+1,\bullet })}$

Поскольку E¹ — это в точности гомология относительно d ^II, d ^II равно нулю на E¹. Следовательно, мы получаем

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Используя другую фильтрацию, мы получаем спектральную последовательность со сходным членом E²:

${\displaystyle {}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Остаётся найти связь между этими спектральными последовательностями. Окажется, что когда r увеличивается, эти две последовательности становятся достаточно похожими, чтобы сделать полезные сравнения.