WikiSort.ru - Не сортированное

Пусть ${\displaystyle y=f(x)}$  — функция от аргумента ${\displaystyle x}$ в некотором интервале ${\displaystyle (a,b)}$ . Если в уравнении ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y}$ считать аргументом, а ${\displaystyle x}$  — функцией, то возникает новая функция ${\displaystyle x=\phi (y),}$ где ${\displaystyle f[\phi (y)]\equiv y,}$  — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

${\displaystyle y'_{x}={\frac {1}{x'_{y}}}}$ ^[1]

Примеры

• ${\displaystyle y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

• ${\displaystyle y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.}$

См. также

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

Примечания

Литература

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы. Добавить иллюстрации.