WikiSort.ru - Не сортированное

Простой элемент ― обобщение понятия простого числа.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ ― область целостности или коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения. Ненулевой элемент ${\displaystyle p\in G}$ , не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение ${\displaystyle ab}$ может делиться на ${\displaystyle p}$ лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle b}$ делится на ${\displaystyle p}$ .

Свойства

• Всякий простой элемент является неприводимым, то есть делится только на делители единицы и ассоциированные с ним элементы.
• Неприводимый элемент не обязан быть простым, однако в гауссовой полугруппе эти два понятия совпадают.
  • Более того, если всякий неприводимый элемент из ${\displaystyle G}$ является простым, то полугруппа ${\displaystyle G}$ гауссова.

Аналогичные утверждения имеют место для факториальных колец.

• Элемент кольца является простым тогда и только тогда, когда главный идеал, порождённый этим элементом, ― простой идеал.

Вариации и обобщения

Существуют обобщения этих понятий на некоммутативный случай.

Литература

• Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975;
• Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973;
• Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968.