Метод суперпозиции — метод решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путём преобразования в задачу Коши.
Основная идея метода суперпозиции заключается в преобразовании граничной задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к двум или нескольким задачам Коши, которые можно решить одним из методов решения задач Коши, например методом Рунге-Кутта. Это преобразование осуществляется путём представления искомого решения в виде линейной суммы нескольких функций , включающей столько неизвестных констант , сколько недостаёт начальных условий для приведения к задаче Коши. Затем это представление подставляется в исходное дифференциальное уравнение и в результате получаем систему из дифференциальных уравнений. При подстановке представления в условия для границ даёт возможность вычислить начальные условия задачи Коши и неизвестные константы .
Рассмотрим краевую задачу, определяемую линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
(1)
и граничными условиями
(2).
Для приведения краевой задачи к задаче Коши недостаёт одного условия, поэтому представим решение в виде
(3)
с одной неизвестной константой .
Подставив это разложение в (1) получаем:
В этом уравнении оба слагаемых должны быть равны нулю.
(4)
(5)
Первое граничное условие в (2) принимает вид:
,
отсюда вытекает:
(6 a, b)
Начальные условия для производной найдем путём дифференцирования (3) в точке 0:
(7)
Граничные условия для производной можно положить:
(8 a, b)
Из (6) получаем:
(9)
Граничное условие во второй точке имеет вид:
Из этого уравнения получаем:
. (10)
Итак, мы получили все начальные данные для задачи Коши. Граничная задача (1), (2) решается следующим образом:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .