Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множеств[1]. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.
Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная») обозначается (читается: «алеф-ноль»), далее следует (алеф-один) и так далее.
Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)[2].
Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса ( ), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание ( означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.
Как сказано выше, символ обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал Тогда символ обозначает[1] мощность множества всех порядковых чисел, меньших
(алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой (омега), или оно имеет мощность
Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел . Примеры множеств мощности :
Бесконечные ординалы:
все относятся к счётным множествам[3]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:
описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности .
Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.
(алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается (иногда ). Ординал больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, не совпадает с и больше его.
Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между и нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества : любое счётное подмножество имеет верхнюю границу в (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.
Если принять континуум-гипотезу, то совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то континуум соответствует одному из более далёких алефов.
Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. Примеры:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .