WikiSort.ru - Не сортированное

Для каждого ортогонального преобразования ${\displaystyle A\colon L\to L}$ евклидова ${\displaystyle n}$ -мерного пространства ${\displaystyle L}$ справедливо такое разложение

${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{-1}\oplus M_{\varphi _{1}}\oplus \ldots \oplus M_{\varphi _{k}},}$

где все подпространства ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{-1}}$ и ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования ${\displaystyle A}$ , причём:

• ограничение ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle L_{1}}$ есть ${\displaystyle E}$ (тождественное преобразование),
• ограничение ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle L_{-1}}$ есть ${\displaystyle -E}$ ,
• все пространства ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ двумерны (плоскости), и ограничение ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ есть поворот плоскости ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ на угол ${\displaystyle \varphi _{i}}$ .

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица ${\displaystyle A}$ имеет блочно-диагональный вид:

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}\,1&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&\ddots &{}&{}&{}&{}&0&{}&{}\\\,{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&-1&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&\ddots &{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&-1&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_{\varphi _{1}}&{}&{}\\\,{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&\ddots &{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_{\varphi _{k}}\\\end{matrix}}\right),}$

где ${\displaystyle A_{\varphi _{i}}}$  — матрица поворота на угол ${\displaystyle {\varphi _{i}}}$ (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства ${\displaystyle L_{1}}$ и число минус единиц равно размерности подпространства ${\displaystyle L_{-1}}$ .