WikiSort.ru - Не сортированное

Гру́ппа Галуа́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

Определение

Пусть поле K является расширением Галуа поля P. Взаимно однозначное отображение ${\displaystyle f}$ поля K на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение — в произведение, то есть если для любых элементов ${\displaystyle a,b}$ поля K справедливы равенства:

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),\;f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$ .

Группой Галуа для данного расширения поля называется совокупность всех автоморфизмов поля K, сохраняющих элементы поля P: ${\displaystyle \forall a\in P\;f(a)=a}$ . Обычно обозначается как G(K,P) или Gal(K,P).

Свойства

• Группа Галуа конечного расширения конечна. Её порядок (число элементов) равен степени расширения [K:P].

Примеры

• Если расширенное поле совпадает с исходным, то группа Галуа содержит только один элемент: единицу (тождественный автоморфизм).
• Для расширения поля вещественных чисел до поля всех комплексных чисел группа Галуа содержит 2 элемента: единицу и комплексное сопряжение.
• Поле расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$ состоит из чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ , где a, b — рациональные числа. Группа Галуа здесь содержит 2 элемента: единицу и операцию, меняющую знак у 2-го слагаемого с ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .
• Пусть p — простое число, рассмотрим конечные поля${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ , первое из них естественным образом вложено во второе. Группа Галуа данного расширения — циклическая, она порождается автоморфизмом Фробениуса ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ .
• Группа Галуа алгебраического уравнения.

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Рассмотрим алгебраическое уравнение четвёртой степени ${\displaystyle P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}$ . Оно допускает следующие преобразования переменной x: ${\displaystyle y=1/x,y=x^{2},y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ . Для ${\displaystyle y=1/x}$ следует ${\displaystyle y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x^{4}}$ , то есть ${\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4}}$ . Поэтому из ${\displaystyle P(x)=0}$ следует, что ${\displaystyle P(y)=0}$ . Это означает, что уравнение ${\displaystyle P(x)=0}$ допускает преобразование ${\displaystyle y=1/x}$ . Для ${\displaystyle y=x^{2}}$ получается ${\displaystyle y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}$ . Деление этого уравнения на исходное ${\displaystyle P(x)}$ дает ${\displaystyle P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)}$ . Таким образом, преобразование ${\displaystyle y=x^{2}}$ также допускается уравнением ${\displaystyle P(x)}$ . Подобным же образом для преобразования ${\displaystyle y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ можно получить следующую формулу преобразования: ${\displaystyle P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2}+x+1)P(x)}$ . Используя подстановку ${\displaystyle x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ найдем, что ${\displaystyle x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,x^{6}=x\cdot x^{5}=x}$ и т. д. Докажем теперь, что уравнение ${\displaystyle P(x)}$ допускает бесконечную группу преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ , где ${\displaystyle n}$ принимает все целые (положительные и отрицательные) значения, не кратные пяти. Для этого достаточно показать, что допускается преобразование ${\displaystyle y=x^{3}}$ . Для этого преобразования имеем: ${\displaystyle P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^{3}+1=0}$ . Отрицательные целые значения ${\displaystyle n}$ получаются применением преобразования ${\displaystyle y=1/x}$ . нетрудно доказать, что полученные преобразования образуют группу. Построенная группа преобразований${\displaystyle y=x^{n}}$ переводит каждый корень уравнения ${\displaystyle P(x)}$ в корень того же уравнения. Проследим теперь, как именно преобразуется каждый корень уравнения ${\displaystyle P(x)}$ под влиянием этой группы преобразований. Из курса алгебры известно, что корнями уравнения ${\displaystyle P(x)}$ являются числа ${\displaystyle x_{1}=z,x_{2}=z^{2},x_{3}=z^{3},x_{4}=z^{4},z=e^{2\pi i/5}}$ . Преобразование ${\displaystyle y=x^{2}}$ переводит корень ${\displaystyle x_{1}}$ в ${\displaystyle x_{2}}$ , корень ${\displaystyle x_{2}}$ в ${\displaystyle x_{4}}$ , корень ${\displaystyle x_{3}}$ в ${\displaystyle x_{1}}$ , корень ${\displaystyle x_{4}}$ в ${\displaystyle x_{3}}$ . Полученная подстановка обозначается ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})}$ . Подобным образом можно показать, что преобразование ${\displaystyle y=x^{3}}$ приводит к подстановке ${\displaystyle (x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})}$ . Преобразование ${\displaystyle y=x^{-1}}$ . приводит к подстановке ${\displaystyle (x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}$ . Остальные преобразования новых подстановок не дают. Таким образом, группа преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ корней уравнения ${\displaystyle P(x)}$ индуцирует конечную группу порядка четыре, состоящую из следующих элементов ${\displaystyle 1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}$ . Эта конечная группа называется группой Галуа уравнения ${\displaystyle P(x)}$ .^[1]

• Пусть ${\displaystyle K_{n}}$ — поле деления круга степени n. Группа Галуа кругового расширения ${\displaystyle K_{n}/Q}$ изоморфна мультипликативной группе ${\displaystyle Z_{n}^{*}}$ кольца вычетов по модулю n.

Применение

Примечания

Литература

• Артин Э. Теория Галуа. — М.: МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-062-2.
• Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Наука, 1963. — 220 с.