WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2019 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие гомотопически эквивалентно ${\displaystyle n}$ -мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при ${\displaystyle n=3}$ . К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$ ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии ${\displaystyle M}$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие ${\displaystyle M}$ можно представить как набор сферических пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ , соединённых друг с другом трубками ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$ . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что ${\displaystyle M}$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ и более того все ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ тривиальны. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ , его доказательство было распространено на случаи ${\displaystyle n=5,6}$ Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая ${\displaystyle n=4}$ было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных^[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

См. также

• Сфера Римана

Примечания

Литература

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

• Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 

• Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 

• Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG] 

• J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
• С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1-2.
• John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.)
• B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman’s papers (англ.)
• Terence Tao Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)