WikiSort.ru - Не сортированное

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом^[1], однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.^[2] Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2)xU(1).

Характерные свойства теорий Янга — Миллса

• Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
• Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
• Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя^[3] присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} (F^{2})=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},}$

где F — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ калибровочной группы:

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$

где под ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы ${\displaystyle T^{a}}$ удовлетворяют соотношению

${\displaystyle \ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c},}$

где ${\displaystyle f^{abc}}$ называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a}}$

где ${\displaystyle I}$  — единичный оператор, а ${\displaystyle g}$  — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия ${\displaystyle g}$  — это безразмерная величина. Для SU(N) групп ${\displaystyle a,b,c=1\ldots N^{2}-1.}$

Вышеприведённое определение ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$ может быть получено, исходя из коммутатора

${\displaystyle \ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}.}$

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0.}$

называются полулинейными. В случае малой константы связи ${\displaystyle g<1}$ в данной теории применима теория возмущений.

Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, ${\displaystyle f^{abc}=f_{abc}}$ , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}\,(+---)}$ .

С введением ${\displaystyle F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$ , уравнения движения можно переписать так

${\displaystyle (D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.}$

Так как F — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки

${\displaystyle \ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0.}$

Источник ${\displaystyle J_{\mu }^{a}}$ входит в уравнения движения как

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}.}$

Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.

Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как ${\displaystyle [A]=[L^{\frac {2-D}{2}}]}$ и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность ${\displaystyle [g^{2}]=[L^{D-4}]}$ . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для ${\displaystyle D=4}$ константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием ${\displaystyle \phi ^{4}}$ . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

См. также

• Открытые математические проблемы

Примечания

Литература

• Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
• Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

Ссылки

• Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой