WikiSort.ru - Не сортированное

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ , являющаяся комплексной проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ . Как вещественное дифференцируемое многообразие диффеоморфна двумерной сфере ${\displaystyle S^{2}}$ .

	Сфера Римана на Викискладе

Координаты

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

• аффинная комплексная координата z, способная принимать значение ${\displaystyle \infty }$ ;
• проективные комплексные координаты ${\displaystyle [z_{0}:z_{1}]}$ ;
• трёхмерные вещественные координаты ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$ , связанные уравнением:

${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\left(\zeta -{\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}}$ .

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

${\displaystyle z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}}$

${\displaystyle z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\frac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\frac {1}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\mapsto z}$ задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Преобразования Мёбиуса

Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть ${\displaystyle a,b,c,d}$  — матрица из ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {C} )}$ . Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:

${\displaystyle z'={\frac {az+c}{bz+d}}}$

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту ${\displaystyle \theta }$ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2}$ (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

${\displaystyle z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta }$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.}$

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

Ссылки

• Римана Сфера — статья из Большой советской энциклопедии
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Riemann sphere", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4