WikiSort.ru - Не сортированное

Начальные условия

Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде

${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},0)={\vec {v^{0}}}({\vec {x}})}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {v^{0}}}({\vec {x}})}$  — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v^{0}}}=0.}$

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость ${\displaystyle {\vec {v^{0}}}(x)}$  — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса ${\displaystyle \alpha }$ и любого ${\displaystyle K>0}$ , существует постоянная ${\displaystyle C_{\alpha ,K}>0}$ (зависящая только от ${\displaystyle \alpha }$ и K), такая, что

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{K}}}\qquad }$ для всех ${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Пусть внешняя сила ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$  — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad }$ для всех ${\displaystyle \qquad ({\vec {x}},t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при ${\displaystyle \vert {\vec {x}}\vert \to \infty }$ . Требуется выполнение следующих условий:

1. ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x}},t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. Существует постоянная ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ такая, что ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}},t)\vert ^{2}dx<E}$ для всех ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Положим ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)\equiv 0}$ . Для любого начального условия ${\displaystyle {\vec {v_{0}}}({\vec {x}})}$ , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$ и поле давления ${\displaystyle p({\vec {x}},t)}$ , удовлетворяющее условиям 1 и 2.

(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Существует такое начальное условие ${\displaystyle {\vec {v_{0}}}({\vec {x}})}$ и внешняя сила ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$ , такие, что не существует решений ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$ and ${\displaystyle p({\vec {x}},t)}$ удовлетворяющих условиям 1 и 2.

На трёхмерном торе

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 31 августа 2016 года.