WikiSort.ru - Не сортированное

В линейной алгебре, матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}},i,j=1,2,3,...,n}$

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{2}}$ - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 10⁵.

История

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: "Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}dx}$

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?" Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина b − a интервала меньше  4.

Свойства

• Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.

• Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.

• Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши. Определитель матрицы Гильберта n × n равен

${\displaystyle \det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}},}$

где

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.}$

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

${\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}.}$

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

${\displaystyle \det(H)\approx a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}}$

где a_n сходится к константе ${\displaystyle e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ , где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.

• Матрица, обратная к матрице Гильберта, может быть выражена в явном виде через биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}}$

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы ${\displaystyle H^{-1}}$ — целые числа.

• Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как ${\displaystyle O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})}$ .

См. также

Ссылки

• Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — Т. 18: 155–159, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02418278 . Перепечатано в Hilbert, David. article 21 // Collected papers. — Vol. II.
• Beckermann, Bernhard (2000). “The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices”. Numerische Mathematik. 85 (4): 553—577. DOI:10.1007/PL00005392.
• Choi, M.-D. (1983). “Tricks or Treats with the Hilbert Matrix”. American Mathematical Monthly. 90 (5): 301—312. DOI:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
• Todd, John (1954). “The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix”. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109—116.
• Wilf, H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities. — Heidelberg : Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.