WikiSort.ru - Не сортированное

В области численного анализа число обусловленности функции по отношению к аргументу измеряет, насколько может измениться выходное значение функции при небольшом изменении входного аргумента. Это используется, чтобы измерить, насколько чувствительна функция к изменениям или ошибкам на входе, и на сколько ошибка на выходе является результатом ошибки на входе. Очень часто решается обратная задача - зная ${\displaystyle f(x)=y}$ , найти ${\displaystyle x}$ , и поэтому должно использоваться число обусловленности (локальной) обратной задачи. В линейной регрессии число обусловленности может использоваться в качестве диагностики для мультиколлинеарности.^[1][2]

Число обусловленности является приложением производной и формально определяется как значение асимптотического относительного изменения наихудшего случая на выходе для относительного изменения на входе.

${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y+\Delta y=f(x+\Delta x)}$

${\displaystyle \mu (f):=\max _{x}{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}=\max _{x}{\frac {\|\Delta y\|/\|y\|}{\|\Delta x\|/\|x\|}}}$ при малых ${\displaystyle \Delta x}$

где ${\displaystyle \|\cdot \|}$ - норма или метрика соответственно в пространстве аргументов или значений.

Число обусловленности часто применяется к вопросам линейной алгебры, и в этом случае производная прямолинейна, но ошибка может быть во многих разных направлениях и, таким образом, вычисляется из геометрии матрицы. В более общем смысле число обусловленности может быть определено для нелинейных функций от нескольких переменных.

Говорят, что проблема с низким числом обусловленности является хорошо обусловленной, в то время как проблема с большим числом обусловленности считается плохо обусловленной. Число обусловленности является свойством проблемы. Вместе с проблемой можно использовать любое количество алгоритмов, которые можно использовать для решения проблемы, то есть для вычисления решения. Некоторые алгоритмы имеют свойство, называемое обратной устойчивостью. В целом, можно ожидать, что обратной устойчивый алгоритм стабильно решит хорошо обусловленные проблемы. В учебниках по численному анализу приведены формулы для чисел обусловленности задач и определены известные обратно устойчивые алгоритмы.

Как правило, если число обусловленности ${\displaystyle \mu (f)=10^{k}}$ , то вы можете потерять до k цифр точности сверх того, что будет потеряно для числового значения из-за потери точности из арифметических методов. ^[3] Однако число обусловленности не дает точного значения максимальной погрешности, которая может возникнуть в алгоритме. Обычно это просто ограничивает его оценкой (чье вычисленное значение зависит от выбора нормы для измерения погрешности).

Число обусловленности для линейных уравнений

Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор ${\displaystyle A}$ .
Рассмотрим линейное уравнение

${\displaystyle Ax=b}$ ,

где ${\displaystyle A}$  — линейный оператор, ${\displaystyle b}$  — вектор, ${\displaystyle x}$  — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных ${\displaystyle b\pm e}$ . Отношение относительных ошибок аргумента ${\displaystyle b}$ и решения ${\displaystyle A^{-1}b}$ равно

${\displaystyle {\frac {\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}{\frac {\|e\|}{\|b\|}}}=\left({\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right)\cdot \left({\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right).}$

Тогда число обусловленности ${\displaystyle \mu (A)}$ характеризует, насколько велика будет погрешность решения при произвольных ненулевых b и e.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (A)=\max _{e,b\neq 0}\left\{\left({\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right)\cdot \left({\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right)\right\}&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\cdot \max _{b\neq 0}\left\{{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}\\&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\cdot \max _{x\neq 0}\left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\right\}\\&=\left\|A^{-1}\right\|\cdot \|A\|\end{aligned}}}$

Такое же определение дается для любой операторной нормы (т.е. определение зависит от выбора нормы):

${\displaystyle \mu (A)=||A||\cdot ||A^{-1}||}$

Если оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ не ограничен, то числом обусловленности оператора ${\displaystyle A}$ обычно считают ${\displaystyle \mu (A)=+\infty }$

С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.

Если число обусловленности оператора ${\displaystyle A}$ мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше ${\displaystyle \mu (A)}$ , тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что ${\displaystyle \mu (A)\geqslant 1}$ , то наилучшим числом обусловленности является 1.

Некоторые теоремы, связанные с числом обусловленности

Примечания

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.