WikiSort.ru - Не сортированное

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta '(-1)}$ ,

${\displaystyle A=\exp \left({\textstyle {\frac {1}{12}}}-\zeta '(-1)\right)}$ .

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера — Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью^[1][2]:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах^[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (n)}$ — гамма-функция, ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ .

Постоянная Глейшера—Кинкелина A может быть определена как предел^[5]

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

или, соответственно,

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}$ .

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента^[5][6], в частности,

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\textstyle {\frac {1}{12}}}-\ln A}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах^[5],

${\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\textstyle {\frac {3}{2}}}\ln A+{\textstyle {\frac {5}{24}}}\ln 2+{\textstyle {\frac {1}{4}}}\ln \pi }$ ,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\textstyle {\frac {1}{2}}}\zeta ^{\prime }(-1)={\textstyle {\frac {1}{24}}}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln A}$

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы^[7][8], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе (Helmut Hasse),

${\displaystyle \ln A={\textstyle {\frac {1}{8}}}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}$ ,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}}$ — биномиальный коэффициент.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.