Группа называется конечной -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.
Пусть — конечная -группа, тогда
В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.
Конечная -группа порядка называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна .
Если — конечная -группа максимального класса, то и .
Единственными 2-группами порядка максимального класса являются: диэдральная группа , обобщённая группа кватернионов и полудиэдральная группа .
В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.
Конечная -группа называется -центральной, если . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной -группы.
Конечная -группа называется мощной, если при и при . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию -центральной -группы.
Конечная -группа называется регулярной, если для любых выполнено , где . Регулярными будут, например, все абелевы -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.
При число неизоморфных групп порядка асимптотически равно .
Для групп -автоморфизмов конечной -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:
Эта гипотеза подтверждена для обширного класса -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.
Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка нильпотентна.
Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: (Кострикин, Крекнин).
Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с образующими и периодом (то есть все её элементы удовлетворяют соотношению ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы равен . Однако, как показали Новиков и Адян, при и при любом нечётном группа бесконечна.
Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных -порождённых групп периода ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных групп она означает, что существует лишь конечное число групп данной экспоненты и с данным числом образующих.
Классификация нерегулярных p-групп порядка .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .